伟大聪明的艺术家们目睹这些人的愚蠢表现时，他们不会去嘲笑这些人的愚昧，他们所憎恨的是尽管这些人花费了很大的功夫，但没有使用任何技巧，胡乱作画。这些人没有认识到他们的错误是由于他们没有学习几何学，没有几何知识，任何人都不可能成为真正的艺术家。这些人的错误应该归罪于他们的老师，这些老师自身对绘画这一艺术一无所知。
——丢勒《测量的艺术》1525年。
当我们明白知道了丢勒的时候，我们就在真实、高贵甚至丰美之中认识了只有伟大的意大利人可以令他等量齐观。
——德国诗人歌德（Goethe，1749－1832）对丢勒的赞语。
求知，以及通过求知去理解一切事物的本质，这是一种天赋……而真正的艺术，是包含在自然之中的，谁能发掘它，谁就掌握它。
——丢勒
我需要不断地去理解、感受，这会耗费大量的心血，使我们的心灵处于一种忧郁的状态。
——丢勒在《给青年画家的食粮》前言
奥秘隐藏于沉序之中。
——美国丹·布朗小说《失落的符号》。
“老爷爷，您能不能再对我讲一些关于幻方的故事。”莫莉一进教授的家就直接讲她的要求。
“幻方的故事，可以像阿拉伯的《一千零一夜》讲几年都讲不完。我今天想让你们知道一个五百年前德国一个艺术家发现的四阶幻方。德国画家阿贝列特·丢勒(Albrecht Durer 1471-1528) 是文艺复兴时期著名的画家，也研究数学。
“他留下的一些铜版画，到现在仍被人喜爱。
“我们会研究一下为什么这个看似简单的东西却有许多神奇的地方。”
两个孩子坐在沙发上，看老教授书房墙上呈现的一张版画。
“这是丢勒在1514年的作品，名叫《忧郁》(MelencoliaⅠ)。”
他们看到一张铜版画，画面是一个有着翅膀的少女，头沉在左手沉思，右手拿着圆规，她的身旁是一个挂着沙漏和钟的石屋，沙漏旁和钟的下面墙上有一个4×4的幻方。屋后面的大海有灯塔。
丢勒《忧郁 I》，线刻铜版画，1514年
“你们看这图有什么工具？”
“有木梯，木匠的槌，刨，刀锯，尺，船锚，指南针。”拉姆奥说。
“有圆球，有多面体。”莫莉说。
“有一只很瘦的狗躺在天使的身边有钱袋。”
“后面有大海，有太阳，有彩虹。”妹妹说。
“还有一个我想是这幅画的左上角，一只有着魂魄尾巴的蝙蝠的翅膀上写着 "MelencoliaⅠ"，应该是英文 melancholy(忧悒) 的意思吧！”
“老爷爷，天使旁边一个小孩是谁？他怎么不快乐？”莫莉问。
“这是希腊神话的爱神丘比特(Jupiter)，她只要把箭射向两个男女的心，这两个就会相爱。”
“为什么他的幻方15和14放在一起？”拉姆奥说。
“这是因为这一年他的母亲去世，他心中悲伤，于是作这幅《忧郁》的铜版画。你们看这是他母亲的画像，以及他在1514年画两个农民跳舞的情形。”
“老爷爷，丢勒究竟是一个怎样的人呢？”莫莉急着想知道这画家的情形。
“他的父母都是匈牙利人，父亲移居到德国的纽伦堡做金银匠。家里共有18个兄弟姐妹。他排行第三。父亲为了哺养这么多孩子，每天工作十八小时。”
“哇！怎么生这么多孩子?!”拉姆奥说。
“五百多年前，人们不知道节育，而且孩子生多不一定能存活。由于瘟疫和其他疾病，他最后只剩下三个亲人。他13岁时，显示了非凡的艺术才能，我给你们看他用银针画的自画像。”
丢勒的自画像
墙上出现了丢勒的自画像。
“唉！这孩子长得真清秀，他13岁就能画出这么好的图画吗？”莫莉说。
“是的，真令人吃惊。他自己说：‘1484年我还是一个孩子的时候，我照着镜子画了自己。’
“他是用银针刻了第一幅自画像。
“从那时起，他开始学习绘画和雕刻。这几张他画的纽伦堡风景。”
老教授继续讲丢勒的生平。墙上出现一张年青人的画像。
丢勒的自画像
“这是他画的耶稣像吗？”莫莉说。
“不，这是他29岁时的自画像。当时人们是这么的称赞这位像达·文西的艺术家。他比达·文西小20岁。”
墙上出现底下的字：1495。
“从1495年丢勒开始研究数学，他这个幻方显示他的数学才能。我想让你们看他的四阶幻方有什么神妙的地方。
你们知道四阶幻方的幻和是多少？”
“我知道，(1﹢2﹢3﹢⋯﹢16)÷4＝(16×17)/2÷4＝34。”拉姆奥很快回答。
“幻方里有4X4=16个数字，这16个数字，每一行的四个数字，不论是横着的、竖着的四个数字之和都是34。
| 16 | 3 | 2 | 13 | 16 | 3 | 2 | 13 | |
| 5 | 10 | 11 | 8 | 5 | 10 | 11 | 8 | |
| 9 | 6 | 7 | 12 | 9 | 6 | 7 | 12 | |
| 4 | 15 | 14 | 1 | 1 | 15 | 14 | 1 |
“中间的四个数字相加之和是34，中间四个数字的左右、上下四个数字之和依然是34！
| 16 | 3 | 2 | 13 | 16 | 3 | 2 | 13 | 16 | 3 | 2 | 13 | ||
| 5 | 10 | 11 | 8 | 5 | 10 | 11 | 8 | 5 | 10 | 11 | 8 | ||
| 9 | 6 | 7 | 12 | 9 | 6 | 7 | 12 | 9 | 6 | 7 | 12 | ||
| 4 | 15 | 14 | 1 | 4 | 15 | 14 | 1 | 4 | 15 | 14 | 1 |
“四个角的数字之和是34，顺时针依次挪一个，四个数字之和，还是34！
| 16 | 3 | 2 | 13 | 16 | 3 | 2 | 13 | 16 | 3 | 2 | 13 | ||
| 5 | 10 | 11 | 8 | 5 | 10 | 11 | 8 | 5 | 10 | 11 | 8 | ||
| 9 | 6 | 7 | 12 | 9 | 6 | 7 | 12 | 9 | 6 | 7 | 12 | ||
| 4 | 15 | 14 | 1 | 4 | 15 | 14 | 1 | 4 | 15 | 14 | 1 |
“对角线的四个数字之和也是34，而且对角线向上、向下的四个数字之和仍然是34！
| 16 | 3 | 2 | 13 | 16 | 3 | 2 | 13 | |
| 5 | 10 | 11 | 8 | 5 | 10 | 11 | 8 | |
| 9 | 6 | 7 | 12 | 9 | 6 | 7 | 12 | |
| 4 | 15 | 14 | 1 | 4 | 15 | 14 | 1 |
| 16 | 3 | 2 | 13 | 16 | 3 | 2 | 13 | |
| 5 | 10 | 11 | 8 | 5 | 10 | 11 | 8 | |
| 9 | 6 | 7 | 12 | 9 | 6 | 7 | 12 | |
| 4 | 15 | 14 | 1 | 4 | 15 | 14 | 1 |
“你们看幻方的四个对角数的和是不是等于中间四个数的和？”
“对，它们都是34。真奇妙。”莫莉说。
“把它分成四块2×2的方阵，你们看每个方阵的和是不是都等于34？”
“16﹢3﹢5﹢10＝34。
2﹢13﹢11﹢8＝34。
9﹢6﹢4﹢15＝34。
7﹢12﹢14﹢1＝34。
“真奇怪。”两个孩子检验之后表示真神奇。
“你们再检查幻方第一（竖）行2个数字与第三行2个数字之和是否等于第二行2个数字与第四行2个数字之和？”
- 16﹢5﹢2﹢11＝3﹢10﹢13﹢8＝34
- 9﹢4﹢7﹢14＝6﹢15﹢12﹢1＝34
“真的是这样。”
“现在检查幻方第一（横）列2个数字与第三列2个数字之和是否等于第二列2个数字与第四列两个数字的和？”
- 16﹢3﹢9﹢6＝5﹢10﹢4﹢15＝34
- 2﹢13﹢7﹢12＝11﹢8﹢14﹢1＝34
“哇！真是出乎意料。”
“现在你们从1联2，2联3，一直联到16。你们看这些连线会有什么性质？”
孩子们看最后的图形，说：“好像有一种对称的样子。”
“孩子们，现在请看墙上12个图形，我要你们一个个根据图里的连线把对应的数字加起来。你们可以合作每人算6个看得到什么结果。”
两个孩子兴奋地计算，每算完一个就叫“酷！真美。多美妙的幻方啊！”
最后算完，他们面面相看，互击手掌说：“这真是一个神奇的幻方，太漂亮了。”
“你们看这个幻方拥有这么多漂亮的结果。可是你们知道中国人比他早二百多年就知道这幻方了？”
“怎么会有人知道这个东西呢？”拉姆奥说。
“中国人是最早研究幻方的民族。在宋朝有一个数学家叫杨辉，1275年写了一本书《续古摘奇算法》，研究三阶幻方，四阶幻方及十阶幻方一些推广。他是第一个中国数学家对幻方作系统研究的人。人们在后来发现总共有880个不同的四阶幻方。
“我们现在看他提出的一个四阶幻方的构造法——对称交换法：
- 1. 求幻和： (1﹢2﹢……﹢16)÷4＝34
- 2.
- ⑴ 将1～16按自然顺序排成四行四列：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
⑵ 因为每条对角线上四个数之和恰为幻和，保持不动。
⑶ 将一四行交换、二三行交换，但是对角线上八个数不动：1 14 15 4 9 6 7 12 5 10 11 5 13 2 3 16
⑷ 将一四列交换、二三列交换，但是对角线上八个数不动：1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 16
- ⑴ 将1～16按自然顺序排成四行四列：
“先定义 n 阶的两个数组 {a,b} 是互补数，如果 a﹢b＝1﹢n2。
“比方说4阶幻方共有{1,2,⋯,14,15,16}数，其中{1,16}，{2,15}，{3,14}，{4,13}，{5,12}，{6,11}，{7,10}，{8,9}是互补数。
“按如上图排列好，然后我们把主对角线上的各个数关于中心对调，对角线上的数，逐个与它的互补数对调，2和15对调，3和14对调，5和12对调，9和8对调。
“我们就得一个四阶幻方。
“大约十五世纪，中国的纵横图传到欧洲，引起了人们的普遍兴趣，成千上万的人沉醉于幻方之中。德国画家丢勒（1427—1528）就是其中的一位。
“你们看它和丢勒的幻方有什么不同？”
“老爷爷！我看到了只要把上面的幻方第二列与第三列对调，我们就得到丢勒的幻方。”莫莉高兴地说。
“对，我现在就要说丢勒这个幻方是从杨辉的幻方对调两个列而成。
“丢勒应该不知道杨辉的工作。”拉姆奥说。
| 16 | 13 | 6 | 3 | 2 | 13 | ||
| 10 | 11 | 5 | 10 | 11 | 8 | ||
| 6 | 7 | 9 | 6 | 7 | 12 | ||
| 4 | 1 | 4 | 15 | 14 | 1 |
“你说的对，在那个年代丢勒不大可能知道杨辉的工作。人们猜他是用这样的方法构造他的幻方。在4×4方格上画两条对角线。我画四个箭头。第一行和第四行箭头往左。第二、第三行箭头往右，从第四行右下角开始填1，2，3，……只在对角线的格上填数。我们填上{1，4，6，7，10，11，13，16}的数。
“接下来从右上角开始引箭头方向填{1，2，3，4，…，16}，这时填不在对角线方格的数{2，3，5，8，9，12，14，15}。
“你们看丢勒的幻方出现了。”
“现在我把丢勒幻方的每个数平方，得到左边的4×4数字方阵。”
“莫莉，你把这两个方阵的对角线的数字加起来，拉姆奥加不在对角线上的数字，看有什么结果。”
“唉呀，它们是相等。”
“对角线之数字之和等于非对角线数字之和（和为68），对角线数字平方之和等于非对角线数字平方之和（和为748）
256﹢100﹢49﹢1﹢169﹢121﹢36﹢16＝748
9﹢4﹢64﹢144﹢196﹢225﹢81﹢25＝748
“对角线数字立方之和等于非对角线数字立方之和（和为9248）
4096﹢1000﹢343﹢1﹢2197﹢1331﹢216﹢64＝9248
27﹢8﹢512﹢1728﹢2744﹢3375﹢729﹢125＝9248”
“这真奇怪！”
“有一次德皇马克西米连一世(Maximilian I，1459年3月22日-1519年1月12日) 请他去皇宫画壁画，他站的梯子摇来晃去，很是危险。皇帝和一些贵族随从在一起，就对贵族们说：‘快帮他扶作梯子’，可是谁也不肯向前。
“丢勒虽然贵为宫庭画师，但在那个时代，艺术家的地位是卑微，画家和音乐家都看作是下里巴人卑贱，没有一个贵族愿意高抬贵手去扶持梯子。
“德皇就用身体去压住梯子，不让它摆动。随从见状大吃一惊说：‘贵为皇帝，怎么做这一件事呢？’
“德皇就说：‘再多的像你们这样的贵族，我都能培养，但是却培养不出像丢勒那样的艺术家。’
“连德国皇帝也要为他扶梯，我们现在暂时从数学转到文学。我想给你们看一部小说的一个片段。小说是丹·布朗写的《失落的秘符》(The Last Symbols)，这小说讲哈佛大学符号学教授罗伯特·兰登去华盛顿调查关于共济会(Masons) 的一个秘密，小说有用丢勒的幻方破解一个密码。现在你们就读墙上显示的文字。”
老教授讲完，就去厨房张罗一些茶点，去院子采了一些无花果树的果子。孩子们就坐在沙发上，看墙上《失落的秘符》第68章和第70章的文字。
看完那两章之后，小朋友们高兴地议论兰登的聪明，以及破译了密码。
“老爷爷，丢勒的原画是否真的存在华盛顿国家美术馆？”
“是的。以后有机会你们可以去看原画。”
“450多年过去了。到目前为止，世界上每个伟大的博物馆都挂有阿尔布雷希特·杜勒数百幅精湛肖像，笔和银笔素描，水彩画，木炭，木刻和铜版画，但是像大多数人一样，您所熟悉的可能性很大阿尔布雷希特·杜勒最著名的作品‘祈祷之手’。为什么这张看起来像是漂浮在蓝纸上的紧握双手的简单图画具有吸引力？
“这杰作有一个悲伤的故事：生活尽管窘迫逼人，然而这个家庭其中两个孩子却是有一个梦想。他们俩都想追求自己的艺术才华，但他们知道，他们的父亲永远都无法在经济上将他们中的任何一个送到纽伦堡去那里的学院学习。
“他有一个哥哥阿伯特(Albert) 也想绘画，两个人想进一个绘画学校，但经济只能提供一人去。晚上，两兄弟在床上经过多次讨论后，得出结论：以掷铜板决定——胜者到艺术学院读书，败者则到附近的矿场工作赚钱；四年后，在矿场工作的那一个再到艺术学院读书，由学成毕业那一个赚钱支持。如果需要，可能也要到矿场工作。
“他们掷了铜板，结果，弟弟阿贝列特胜出，去了纽伦堡艺术学院。哥哥 Albert 则去了危险的矿场工作，在其弟弟上大学的时候来为弟弟提供经济支持。阿贝列特在艺术学院表现很突出，他的油画简直比教授的还要好。到毕业时，他的作品已经能赚不少钱了。
“在这位年轻的艺术家返回家乡的那一天，家人为他准备了盛宴，庆祝他学成归来。当漫长而难忘的宴席快要结束时，伴随着音乐和笑声，亚尔伯起身答谢敬爱的哥哥几年来对他的支持，他说：‘现在轮到你了，亲爱的哥哥，我会全力支持你到纽伦堡艺术学院攻读，实现你的梦想！’
“但是令他们惊讶的是坐在桌子尽头的阿尔伯特摇摇着低下的头，他反复抽泣，‘不，不，不。’阿尔伯特双手紧贴右脸，轻声说道：‘不，兄弟。我不能去纽伦堡。对我来说太晚了。看看四年我的手已经被炸毁了！每个手指上的骨头至少被砸碎了一次，最近我右手患有关节炎非常严重，以至于我什至都不能拿着杯子来回敬酒，更不用说了在羊皮纸或帆布上用钢笔或刷子绘制的细线。不，兄弟，对我来说太晚了。’
“哥哥由于长期在矿场艰辛工作，手严重受伤。他不能再举起画笔和雕刻刀。
“阿伯特为了弟弟的学业牺牲了自己。丢勒有一次看到哥哥双手合十祈祷，看到哥哥因劳动的粗糙的手，他感到要捕捉这一刻，于是刻了《双手》的画，人们几百年来改称为《祈祷的双手》来纪念这个爱弟弟而牺牲的哥哥。”
只见莫莉感动的流眼泪。拉姆奥抱着她说：“我以后也会像阿伯特一样去工作让你受好的教育。”
丢勒《祈祷的手》素描及邮票
“可是新英格兰大学艺术史学家和法医专家 W.R. Albury 和 George Weisz 博士认为‘杜勒画的手不是劳动者的手。在丢勒绘画中，祈祷之手很细，手指细长，修整的指甲没有手工作业的残酷。前臂的衣着优雅，袖子用昂贵的材料制成，显然是富裕人士的衣服。’
“教授们说，双手还显示出轻微的衰老，没有肿胀的迹象，这可能是由于多年的体力劳动造成的。
“人们这么喜欢丢勒，他的一小撮金黄色头发几百年来还保留在美术馆里。许多国家发行邮票以纪念他，拉姆奥和莫莉！这里我给你们一些丢勒的画及邮票。你们收藏好。
“我这些蛋糕和无花果你们拿回去吃。
“这小小的幻方有这么多奇妙的性质。数学是不是真的好玩呢？”
“是的。老爷爷，谢谢您告诉我们这么多丢勒和丢勒奇妙的幻方。我们真的喜欢它。”
“好！你们可以回家，我下次再告诉你们更有趣的东西。再见。”
“再见。晚安。”
2016.3.8 完成
2020.10.1-2020.10.7 改写
（更多图片见：李学数汇辑 《阿尔布雷希特·丢勒》）
〖参考文献〗
1. Boyer, C. D. and Merzbach, U.C, A History of Mathematics. New York: Wiley, pp. 296-297, 1991.
2. M Brion, Albrecht Dürer : his life and work (1960).
3. Burton, D. M. Cover illustration of Elementary Number Theory, 4th ed. Boston, MA: Allyn and Bacon, 1989.
4. Panofsky, Erwin. The Life and Art of Albrecht Durer. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1955.
5. Lynch, T. "The Geometric Body in Durer's Engraving Melancholia I" J. Warburg and Courtauld Inst., 226-232, 1982.
6. Federico, P. J. "The Melancholy Octahedron" Mathematics Magazine, pp. 30-36, 1972.
7. J E Hofmann, Dürer als Mathematiker. I, Praxis Math. 13 (4) (1971), 85-91.
8. J E Hofmann, Dürer als Mathematiker. II, PraxisMath. 13 (5) (1971), 117-122
9. Sander, Jochen (2013). Dürer: His Art in Context. Frankfurt: Städel Museum & Prestelt. ISBN 978-3-7913-5317-3.
10. K D Walton, Albrecht Dürer's Renaissance Connections between Mathematics and Art, The Mathematics Teacher 87 (1994), 278-282.
11. 黄奎，给丢勒的一封信，https://zhuanlan.zhihu.com/p/38098709
12. 梁进, 丢勒的幻方，《中国科学报》，2013-11-15，
http://news.sciencenet.cn/sbhtmlnews/2013/11/280136.shtm