美国数学家
保罗·理查德·哈尔莫斯

匈牙利犹太籍人

　　有两个认识的数学家，我都要叫他们“保罗伯伯”(Uncle Paul)，而且他们都是匈牙利犹太籍人。一个是保罗·厄多士(Paul Erdos 1913-1996)，另外一个是保罗·哈尔莫斯(Paul Richard Halmos 1916.3.3─2006.10.2)。

　　厄多士我在《数学和数学家的故事》第一集和第八集介绍过他的生平及工作，许多人都知道他是一个身无分文，不找任何工作，只专心做研究的数学家。

　　今天介绍的另外一个“保罗伯伯”是一个非常实在的数学家。保罗·理查德·哈尔莫斯从事的数学遍及概率论(ergodic 理论)，统计，泛函分析(特别是希尔伯特空间及操作数理论) 以及数理逻辑。年轻时曾当大数学家冯·诺依曼(John von Neuman 1903－1957) 的助理。

　　哈尔莫斯(Paul Richard Halmos 1916.3.3─2006.10.2) 是美国数学家，1916年3月3日生于匈牙利的布达佩斯，生下6个月母亲就过世了。父亲是一个医生，由于他对政治的敏锐观察，父亲是匈牙利成功的医生，在1924年感到欧洲局势动荡不安，预感一场政治风暴会来临，就把自己在匈牙利的医业事务转让给另外一位医生，并请他照看他的三个儿子，就自己移民到美国的芝加哥，父亲在芝加哥立足，五年后老哈姆斯成为美国公民，然后把他留在匈牙利的两个儿子接来美国。

　　哈尔莫斯曾说：“我由于父亲的关系，马上成为美国公民，我不觉得自己是匈牙利人，在文化、教育、世界观各种各样我能想到的我是美国化。虽然我讲英语有口音，可是它比我的匈牙利语好无穷多倍。所以，总的来说，除了口音外，我是完全的美国人了。”

　　哈尔莫斯十三岁离开匈牙利，当时是中学三年级生，只会匈牙利文，德文和一些拉丁文。

　　匈牙利的校制是小学四年，中学八年，他已经上了七年，来了美国他对芝加哥的校方说，他已念了高中三年，因此当局让他念了最后一年。他第一天进美国中学上佩恩先生(Payne) 的物理课，老师讲一个钟头，他一个字也听不懂，下了课后，其它学生跑到别的课室去上课，他却不知道要去哪里上，坐在原来的座椅上。老师就走来问他一些事，他耸耸肩表示听不懂，他们试了各种语言，最后他们通过几个拉丁字和法语总算初步沟通，老师要他去252号课室上课。

　　他不想呆在学校太长，于是向学校当局表示他在欧洲已念过三年“中学”，他们“相信”他的话，给他马马虎虎的一个鉴定考试，通过匈牙利领事馆一位官员的翻译，他一下子跳了四年，一年半以后，他就中学毕业了。

　　他在美国六个月，能说流利但不正确不合语法的口头英语。在十五岁时高中毕业，进入了伊利诺大学念化学工程系。以他的年龄来说，还好他的身体身材算高大，有些驼背，样子装老成，在校园大摇大摆地走，学生都和他相当融洽。周围的学生没有察觉这是十五岁的“黄毛小子”。他说他不是什么“天才儿童”类型的人。

大学由化学工程和哲学改学数学

　　十五岁进入伊利诺大学主修化学工程，可是念了一年，就觉得是无聊的玩意儿，把手弄得太脏，他就想去念哲学和数学课。他说他的微积分，只考个B(乙等) 他对极限(limit) 的概念弄不明白，他会机械式地求微分和积分。

　　对于数学他并没有显得很热忱，他说“我是一个普通的微积分学生，我想我的成绩是乙，我对极限并不太了解，我真怀疑教授有教它，可是我对微分和积分可以说这些机械式的运转很好，这方面，我可以过得去，我就是这样混了过去。”

　　他选数学课，只是想知道数学是什么回事，并不是真的想当数学家。

　　他说他喜欢哲学，而且对符号逻辑有兴趣。他说他对抽象思维是有兴趣，他喜欢思想清晰、可靠。学历史的时候，他总怀疑历史是不是有人为了需要而修改，学物理和化学，却疑心重重，他疑心这么重，觉得物理和化学不是真实，这真是奇怪的事。

　　在一九三四年，他以三年的时间完成四年的学业，他进入乌巴拉香的伊利诺大学攻读研究院，主修哲学和副修数学。他三年获得学士学位，而不是四年。他十八岁就去念研究院了，而且他去念数学和哲学课。他自己表示：“我念研究院，我在哲学的硕士考试不及格，我还继续念数学课，我仍思考极限的问题，有一天下午，我在数学系的213课室的黑板前和一个同学交谈，突然间我恍然大悟什么是极限，然后许多东西都自然地明白，那一天，我就成为了数学家。”

　　他说他最初是和一般人有相似的等级看法，认为数学是在物理之上，物理又在工程技术之上，因此，哲学是在数学之上。他读研究生院时是想念哲学，主修哲学，但同时也选修许多数学课。可是在哲学硕士考试时，人们问他有关哲学史的问题，他全部不会回答。于是他说：“见你鬼去吧！我要改学数学了！”于是哲学变成选修课，可是选修课考试还是不行，于是只好死心塌地去读数学了。

　　他说他读哲学时，看了罗素和怀海德(Russell and Whitehead) 的巨著：《数学原理》(Principia Mathematica) 对于符号逻辑非常喜欢，这也是促使他从哲学转向数学的一个因素。

　　虽然哈尔莫斯在二十二岁时获得博士学位，但他讲在学数学过程中他是比人家慢一拍子。第一年研究生课，他听复变函数论(Complex Variables) ，他不明白数学符号 Σ 是什么东西？教授说取单位圆，班上一位同学问：“开的还是闭的”，(即单位圆是否包含圆周上的点，有的话是闭的，没有是开的。) 而哈尔莫斯却觉得这位真是多此一举，单位圆是开的还是闭的有什么关系，他不知道圆的拓扑结构(topological structure) 不同，就会有不同的推论。

　　有一天他和一位低一年级的学生谈论数学，突然他弄懂什么是“无穷小”的意义，因而知道极限是什么，他才明白以前学微积分所不明白的东西究竟是什么一回事，当天他找了Granville, Smith 和 Longley 的微积分书从头看，以前对他没有教育意义的东西，现在变成有意义，而且以前不会证明的东西，也能证明了。他说从那天开始，他成了数学家。

　　在1985年他出版了用一年时间写的自传《我要成为数学家》 (I want to be mathematician) 。他在他的自传里曾写道：“数学并不是演绎的科学，当你要证明一个定理，你不会只是罗列一些假设，然后才开始推理，你是要尝试和错误，做一些实验验证，一些猜测的工作。

　　“数学是稳定可靠，确信无疑，真知灼见，尽善尽美，洞察入微，以及结构与组织。

　　“数学，我称之为数学的那部分人类知识，我是看成一种事业，一种崇高而壮丽的事业，不管是微分拓扑，还是泛函分析，或者是同调代数，全都一样，全都互相关联，即便一位微分拓题，他听到的每一个丁点东西，偶然得到的每一点，道听途说，听起来像是他确实了解到别的什么东西似的，这些课题彼此的联系紧密，构成了同一个东西不同的侧面。那种相互联系，那种结构组织，就是稳定可靠，就是真知灼见，就是尽善尽美，这就是我对数学的看法。”

曾经是积极的左翼分子

　　哈尔莫斯对研究生一个忠告：“我们平常人没有足够精力分两半给两种热情；我们不能数学和大提琴两样都行，我们不能在数学上和细木工艺上都有创造性，我们不能在数学和政治两方面都有偏爱。只抱有一种热情，把自己的精力灌注到一种主要活动中，对一个处于发展阶段的专业人员来说尤其重要。一个数学研究生除作数学研究外没有──不应当有──时间去做任何事。”

　　他自己说他年轻时就违反了以上的看法。他说：“我曾暂时注意政治理想，这种活动及消耗浪费时间的。

　　“我由一个爱国的匈牙利保皇派转变成一个30年代中期典型的积极左派。希特勒在德国实力日益壮大，而在美国惠伊·朗(Hney Long) 和考夫林(Caughlin) 神父的追随者越来越多。社会主义者诺尔曼·托马斯(Norman Thomas) 和雷恩·布鲁姻(Leon Blum)，还有共产党人厄尔·布劳德(Earl Browder) 甚至斯大林，比起他们都不算坏。

　　“早在成左倾之前，我的导师乔·杜布(Joseph Leo Doob 1919.2.27─2004.6.7) 就已左倾，我大部分是受了对乔·杜布的佩服的影响，我改变信仰，参加共产党。

　　(杜布是台湾中央研究院资深院士、著名统计学家周元燊教授的导师。周元燊1954年由杨忠道介绍，得伊利诺大学数学系奖学金，赴美留学。1955年7月中国暑期学生会上，得遇芝加哥大学陈省身教授，在他指引和杜布学习。1958年在杜布教授指导下，完成鞅论方面的博士论文。)

　　“我出席集会，我收集请愿签名，为后来被称作共产主义联机的各个组织募款。我甚至不记得都是哪些组织。

　　“我的日记常提到 ALWF，这个容易认：它是‘美国反对战争和法西斯主义-----盟。’我属于所谓‘青年委员会’，我似乎还是某一组织的‘接待委员会’的成员和另一组织的‘和平委员会’的成员。我散发宣传左翼演讲人的传单，我为两班牙共和派募款。我帮助组织一个合作社，其目的一部分是经营一家餐馆，黑人和白人同样欢迎。”

　　“在我跟政治度蜜月期间，我做的一切事(当然数学除外) 都受到影响。例如，我阅读的书籍从约翰·里德(John Reed) 的《震撼世界的十日》和安娜·路易斯特朗(Anna Louise Strong) 的《我改变世界》跳到阿里山大·伍尔科特(Alexander Woolcutt) 和 P.G. 渥德豪斯(Wodohous WodeHouse)，然后再回到《新群众》和厄善顿·辛克莱写的小说。我开始学俄语，作者依旧到那个牛奶和蜜糖国度的白日梦。”

　　“这大都是1935－1936年的事。1936年后期，我开始认识到一天没有那么多时间又作数学又搞政治。我辞去个委员会的职务，消减出席会议的时间。我的见解乃带着浓重的党派路线意识形态的色彩，我会做这样短评：‘柏拉图这家伙是下流的反动分子－法西斯分子’。一年左右后，疲惫，腻烦，不耐烦和消耗一切的作数学的渴望，开始改变我的看法。我的日记开始说这样的话：‘费力的 ALWF 的会，一切错事照常－我可不想去了’，‘让人受不了的晚会－我想离开了’，‘这学年以后我不再干了’。和那时起许多别的急进的知识分子一样，急进思想随着1939年纳粹和苏联签订互不侵犯条约而突然终止。当然，我感到意外和惊骇－情绪也有缓和下来。我告诉朋友们我就要‘政治自杀’了，我真做到了，我决心什么也不支持，什么请愿书也不签名，再不为任何社会事业贡献力量。我一向过于羞怯，做不了搜罗信徒的传教士－这种事似乎有伤尊严，像强行推销专利药品，或从另一个角度看，像可耻的乞讨－要戒除使别人转而相信我的见解，这种决心不难保持。大学毕业却难以找到工作。”

　　在1938年他以博士论文：“一些随机变化的不变量：赌博系统的数学理论”取得博士学位。1938年他获得了博士学位，可是那个年代正是经济萧条时刻，他说：“我送了190封求职信，只有两封回信都说没有职位，伊利诺大学可怜我，让我以讲师身份留下教书，因此1938-1939我是有了工作，我仍到处申请寻找。”

　　这样，在1938─1939年他有了工作，可是他继续申请，在二、三月间他找到一所州立大学的工作，这是费几封介绍信的推介而成。可是过不久他不想做了。

　　在年中时，他的一个比他低一年的朋友拜伦·安伯罗斯告诉他获得了普林斯顿高等研究所的奖学金，要到那里去作研究。他说：“这事令我生气，我也想要去那里，于是我辞去了我的教书职位，向父亲借了一千元，就搬到普林斯顿区，什么职位也没有，只有在研究所的图书馆有一个座位。可是第二年就成为也是来自匈牙利的大数学家冯·诺依曼的助手，我的任务是去听他的课，把他讲的东西记录下来然后打字编成讲义，在1942年我编写成了《有限维向量空间》，这是根据冯·诺依曼的讲课所写的。由此开始引导我写数学书籍。”

对我的影响

　　我在读书时先接触了他在1947年写的《有限维向量空间》，这书基本是冯·诺依曼上课时的笔记，哈尔莫斯作为助手纪录并整理出来，是一本非常好的书。

　　另外一本是1963年间《布氏代数几讲义》写得很整洁，最初是1967年我第一次阅读，我就喜欢近代数学。我在这二十年来看了四次。

　　1965年我与当时准备去加拿大留学的陈庆地，林明法两位学长一起学他的1950年写的《测变论》，哈尔莫斯说：“问题是数学的心脏。”他的数学问题不仅蕴含着深刻的数学思想和精妙的思维技巧，而且在解决该问题的过程中能产生新的观念。可惜后来没有在分析发展，但可以说在数学的成长中受到他的影响。

　　后来我从事研究工作，他写的《怎么样写论文》对我有很大的帮助。另外他写的《怎样教数学》也对我从事教书工作有一些启迪。他讲过这样一句话：“具备一定的数学修养比具备一定量的数学知识要重要得多。”从这个意义上说，数学教育的根本目的并不在于让学生掌握多少数学知识，最重要的在于培养学生一双敏锐的眼睛。

　　哈尔莫斯说：“我猜测：在可以预测的将来(和现在一样) 离散数学将是在认识世界的过程中日益有用的工具，而分析将因此相行之下占次要的地位，这并不是说，笼统而言分析，特殊而言偏微分方程，他们的好日子已经过去了，其威力已江河日下，而是，据我所推测，不仅仅是组合数学，而且连相对来说深奥莫测的数论和几何也将在应用数学的书籍中取代一些以前曾是分析所占据的篇幅。”

　　他晚年退休后来硅谷的圣塔克拉拉大学教书，我几次被邀请去那儿演讲，他都会列席在第一排听我怎样结合中国古代的组合数学工作创新的报告。

　　最后他由于跌断脚就不常出来听演讲。他在我最后一次在我校数学系讲关于边魔图他还来听并拍像。我讲完之后还要上课，后来他写信寄相片给我。说可惜没有机会与我共进晚餐聊一下数学。(通常系里会演讲完后邀请主讲者及一些参加听众吃饭，主讲者免费) 。

　　他的同事D 教授对我说：“哈尔莫斯教授有个怪僻，如果听演讲，讲者在开始五分钟不能吸引他的兴趣，他就拿着拐杖走出讲厅。看来你的演讲还不错能吸引他几次来听。”

　　哈尔莫斯在2006年10月2日因肺炎去世，享年90岁。

“标新立异”的数学家

　　柏克莱大学数学系的贺斯彩(Gerhard Paul Hochschild) 是哈尔莫斯芝加哥大学同事。一天，贺斯彩听说哈尔莫斯要出《有限维向量空间》一书，就问：“哈尔莫斯老兄，能不能顺便帮我打打知名度？”

　　哈尔莫斯爽快的答应了。现在，您翻阅《有限维向量空间》(Finite-Dimensional Vector Space) 一书时，会发现贺斯彩(Hochschild)的名字出现于索引中，而该姓名相对应的页数是 p.198。

　　人们曾称保罗·哈尔莫斯为“标新立异”的数学家，他对数学的看法是否与常人有异呢？

　　美国政府有一个国家科学基金会(National Science Foundation) 的组织，专门赞助一些科学工作研究者。许多人认为从这基金会取得多少钱做研究为荣，哈莫斯却有另外的看法。

　　“我在数学家当中是个标新立异者，我认为向国会议员和国家科学基金会的官员们解释数学是什么，有多么重要，应该给多少钱，这并不是生死攸关的大事，我认为数学研究不需要别人的资助，我想这话会得罪很多人。我没有钱也仍把数学做好；我对三四百年岁的过去怀恋，当时只有心甘情愿业余搞数学的人才搞数学。

　　“在五十年代和六十年代，许多人加入数学研究的圈子里，原因是不对头；搞数学容易迷惑人，受到社会尊敬，收入优厚。苏联人发射了第一颗人造卫星，我们的国家就精神紧张，于是国家科学基金会出来，提出一些专业性的国家政策。各种各样的方法都试过，没有一个办法得出什么结果。我们不得不以名利作诱饵吸引人来学数学，结果使数学显得受人尊敬，收入丰盛，使人迷惑，我们就是这么做的。

　　“例如，我们过去有一种做法，就是纯粹自欺欺人的自命不凡，把数学当作上天赐予的重任，曾经起过作用的办法是：我如果提出要做某件研究工作，如果被评定为一件有益可做的事，我就会得到一笔钱，这是那么不正当，令我作呕，完全不是纯真的东西自欺欺人！我们搞研究所以得到报酬，是因为我们国家想花钱训练数学家为打倒苏联人服务。

　　“因此，可以说，这总的说是件坏事，要是国家科学基金会根本不存在，要是政府部门从来不赞助美国的数学，我们的数学家可能会有现在的一半那么多，我看没有什么不好，有些地方数学家的人可能少到85成100人，也许只有15或20人，我看这没有什么不好，数学几千年没有特殊的赞助不是搞得挺好的吗？”

怎样作为一个数学家

　　哈尔莫斯在《应用数学是坏数学》说：“数学如今生气勃勃，分支如此众多，各分支又如此广博，基本上无人能全部了解。……但这不要紧，无论演讲是关于无界操作数，交换群还是可平行曲面，相距很远的数学各部分之间的相互影响常常会出现。一个部分的概念，方法常常会对所有其它部分有启示。这一体系作为一个整体的统一性令人惊叹。”

　　哈尔莫斯谈怎样做数学家，在哈尔莫斯的自传，他谈成为数学家的一些观点，我觉得很有趣，相信读后我们每个人都能从中受到启发。我先谈一下他的看法：“我花费我一生大部分时光试图当一位数学家，可是我学会了什么呢？当数学家要做什么？我认为我知道答案：你必须生下来就对头，你必须连续不断的追求使自己变得完美，你必须热爱数学超过任何其它事情，你必须不停的勤奋工作，你必须坚持不懈，永不放弃。

　　“要当数学学者，你必须生下来就有天才，具有观察力，集中力，运气，驱动力，以及自觉和猜测的能力。

　　“按某种意义说，一个学者终身学习，但是吸收别人发现的知识(学习) ，和你自己发现一部分真理(研究) ，是一种很不相同的学习。

　　“如果你搞数学，你还有理解学生在他们面前会遇到什么困难，你必须同情你的听众，无私的奉献，你必须具有口语表达能力，清晰的风格，论述的技巧。

　　“最后如果你担任重要的行政领导职务，还必须全力以赴做好本职工作，你必须负责，尽职，谨慎，有条理，假如你具有一些领导质量的个人魅力，那就更有好处。

　　“当一位数学家，你要热爱数学超过爱你的家庭，宗教，金钱，舒适，快乐和荣耀，我的意思不是说当数学家要到排斥家庭，宗教和其它的程度，也不是你爱上数学，你就不会有任何怀疑，从来也不沮丧，也不准备停下工作去干园艺活，怀疑和沮丧都是生活的组成部分，伟大的数学家也有过疑惑，也有过沮丧，但是，一般是不能了解他们不能停下来不断学习，一旦他不能解脱，他也会深深地想念它。”

　　哈尔莫斯认为：要当数学学者必须生下来就有天才，具有洞察力，集中力，运气，驱动力，以及直观和猜测的能力。他承认他不是有宗教信仰的人，但他认为当人们从事数学的钻研时，就好像和上帝接近，要学习数学，需要超常的努力──阅读，听讲演。

　　他喜欢那种“数学聊话家常”(Mathematical Gossip)，当人们坐在闲椅上会翘起二郎腿，告诉他数学，这样他就会学到东西。

　　“我不是说热爱数学比热爱其它事物更为重要，我的意思是说，如果一个人的爱好排成顺序的话，数学家最大的爱好就是数学。我认识许多数学家，有大数学家有小数学家，我的确感到，我所讲得对他们都成立。我所举出一些最著名数学家的名字：马斯登·穆尔斯，安德烈·韦伊，赫尔曼·外尔，奥斯卡·扎里斯基。我只是讲，热爱数学是一个前提，没有这点就得不出那个结论。如果你想当一个数学家，你就要审视你的灵魂，问一下你想当数学家的愿望有多大。

　　“假如你的愿望不是很深，很大，事实上不是极大，最大；假如，你有其它的欲望更为有限，甚至不止一个，那么你就是不该力图当数学家。这个‘该’字不是从道德伦理上考虑，而是从实据可能的角度考虑的，因为我觉得你可能达不到你的目的，而且，无论如何，你怎会感到沮丧，感到心情不愉快。”

　　哈尔莫斯举一个他的同乡的例子。厄多士(Erdos) 是二十一世纪最多产的数学家。

　　“我不喜欢厄多士喜欢的那类组合－几何－算术问题，但是他在这方面十分高明。也会有人问哪种全部了解的数学问题，此时他就要求告诉他各个基本词的定义：如果他的集合论‘计数’技术适用，她就会进而找到答案。一个典型的例子是：希尔伯特空间内有理点集合的维数。这是胡尔维茨(Hurewicz) 提出的问题。厄多士不太清楚希尔伯特空间是什么，而且它也不明白‘维数’是什么意思。亨利·沃尔曼(Henry Wolman) 告诉他定义──不厄多士就没有解答。(答案是１) ，论文在1940年发表在《纪事》(Annals) 上。这是厄多士对几个月前他一无所知的一个题目具有专业重要意义的贡献。”

怎样做数学研究？

　　哈尔莫斯被公认为数学研究相当好的一个数学家。他在《我要作数学家》里说：“我以前常常说一句话，但此话不厌强调：要主动研究，别只是读，要去干！问你自己的问题，找你自己的实例，发现你自己的证明。这个假设是必要的吗？逆命题对吗？经典的特例情况如何？退化情况怎样？证明在什么地方使用假设？”(Don't just read it; fight it! Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs. Is the hypothesis necessary? Is the converse true? What happens in the classical special case? What about the degenerate cases? Where does the proof use the hypothesis?)

　　“有谁能告诉别人怎样去做研究，怎样去创造，怎样去发现新东西？几乎肯定这是不可能的。在很长一段时间里，我始终努力学习数学，理解数学，寻求真理，证明一个定理，解决一个问题──现在我要努力说清楚我是怎样去做这些工作的， 整个工作过程中重要部分是脑力劳动， 那可是难以讲清楚的──但我至少可以试着讲一讲体力劳动的那一部分。

　　“数学并非是一门演绎科学──那已是老生常谈了。当你试图去证明一个定理时，你不仅只是罗列假设，然后开始推理，你所要做的工作应是反复试验，不断摸索，猜测。你要想弄清楚事实真相，在这点上你做的就像实验室里的技师，只是在其精确性和信息量上有些区别罢了。如果哲学家有胆量，他们也可能像看技师一样地看我们。

　　“我喜欢做研究，我想做研究，我也得做研究，我却不愿坐下来开始做研究──我是能拖则拖迟迟不肯动手。

　　“拥有一个大的，外在的，不受我一直支配的而且我能为之贡献一生的事业，对我是重要的。高斯，戈耶(Goya) ，莎士比亚和佩盖尼尼(Pagannini) 我钦佩他们又羡慕他们，他们也是富有奉献精神的人。非凡的天才只有少数几个人才有，而奉献精神则是人人都可以拥有的──也应当拥有的──没有这样的精神，生命便失去价值了。

　　“尽管我对工作无限眷恋，我仍是不愿意着手去做它；每做一项工作都像是一场打仗格斗。难道就没有什么事我能(或必须？) 先行干好吗？难道我就不能先将铅笔削好吗？事实上我从来不用铅笔，但‘削铅笔’已成为一切有助于延迟集中创造精力带来的痛苦的手法的代名词。它的意思可以是在图书馆查阅数据，可以是整理旧笔记，甚至可以视为明天要讲的课作准备，干这些事的理由是：一旦这些事了结了，我就真正能做到一心一意而不受干扰了。

　　“当卡米查埃 (Carmichael) 抱怨说他当研究生院主任每周可用于研究工作的时间不超过20小时的时候，我感到很奇怪，我现在仍觉得很奇怪。在我大出成果的那些年代里，我每周也许平均用20小时作全神贯注的数学思考，但大大超过20小时的情况是极少的。这极少的例外，在我的一生中只有两三次，他们都是在我长长的思想阶梯接近顶点时来到的。尽管我从来未当过研究生院主任，我似乎每天只有干三，四个小时工作的精力，这是真正的‘工作’；剩下的时间我用于写作，教书，作评论，与人交换意见，作鉴定，作讲座，干编辑活，旅行。一般地说，我总是想出各种办法来‘削铅笔’。每个做研究工作的人都陷入过休闲期。在我的休闲期中，其它的职业活动，低到并包括教教课，成了我生活的一种借口。是的，是的，我也许今天没有证明出任何新定理，但至少我今天将正弦定理解释得十分透彻，我没白吃一天饭。

　　“数学家们为什么要研究？这问题有好几个回答。我喜爱的回答是：我们有好奇心──我们需要知道。这几乎等于说‘因为我愿意这样做’，我就接受这一回答──那也是一个好回答。然而还有其它的回答，它们要实在些。

　　“做研究工作，有一点我不擅长因而也从不喜欢的是竞争。我不太善于抢在别人前面已获得荣誉。我争当第一的另一办法是离开研究主流方向去独自寻找属于我自己的一潭小而深的洄水。我讨厌为证明一个著名猜想而耗费大量的时间却得不到结果，所以我所干的事无非是分检出被别人漏掉的概念和阐明富有结果的问题。这样的事在你一生当中不可能常做，如果那概念和那些个问题真是‘正确’的，它们便会被广泛接受，而你则很有可能在你自己的课题发展中，被更有能力和更有眼光的人们甩在后面。这很公平，我能受得了；这是合理的分工，当然我希望次正规不变子空间定理是我证明的，但至少我在引入概念和指出方法方面做过一点贡献。

　　“不介入竞争的另一个方面就是我对强调抢时间争速度不以为然。我问我自己，落后于最近的精美的成果一两年又有什么关系呢？一点关系都没有，我这样对自己说，但即使对我自己来说，这样的回答有时也不管用，对那些心里构成和我相异的人们来说，这样的回答总是错的。当罗蒙诺索夫(Lomonosov) (关于交换紧操作数的联立不变子空间) 和斯科特·布朗(Scott Brown) 的(关于次正规操作数) 消息传开时，我激动的就像我是第二位操作数理论家似的，急切的想迅速的知道详情。然而这种破例的情形是少有的，所以我仍然可以在我一生大部分时间中心安理得地生活于时代之后。

　　“我继续尽可能长时间地坐在我的书桌前──这可以理解为，我只要有精力，或者只要有时间，我就这样坐在书桌前，我努力整理笔记到一个弱拍出现为止，如一个引理的确定，或者，在最坏的情况下，一个未经过仔细研究但明显不是没希望解答的问题被提出。那样，我的潜意识可以投入工作了，并且在最好的时候。

　　“在我走向办公室时，或者给一个班上课时，甚至在夜间睡眠中，我取得意外的进展。那捉摸不透的问题解答有时让我无法入睡，但我似乎养成了一种愚弄我自己的办法了。在我翻来覆去一会后，时间并不长──通常仅为几分钟──我‘解决’了那问题；那问题的证明或反例在闪念中出现了，我心满意足了，翻了个身便睡着了。那闪念几乎总被证明是假的；那证明有个巨大的漏洞，或者那反例根本就不反对任何东西。可不管怎么说，我对那个‘解’相信的时间，长的足够是我睡个好觉。奇怪的事情时，在夜间，在床上，在黑暗中，我从未记得我怀疑过那‘思路’；我百分之百地相信它可是件大好事。对一些情形它甚至被证明是正确的。

　　“我不在乎坐在钟边工作，当因为到了上课的事间或者到了除去吃饭的时间，而我必须停止思考时，我总是高兴地将我的笔记收起来。我也许会在下楼去教室的路上，或者在发动我的汽车，关闭我车库门时仔细思考我的问题；但我并不因为这种打扰而生气(不像我的一些朋友们说的那样，他们讨厌被打断思绪) 。这些都是生活的组成部分，一想到几小时候我俩──我的工作和我── 又要相聚时，我就感到很舒坦。

　　“好的问题，好的研究问题，打哪儿来呢？它们也许来自一个隐蔽的洞穴，同在那个洞穴里，作家发现了他们的小说情节，作曲家则发现了他们的曲调──谁也不知道它在何方，甚至在偶然之中闯进一辆此后，也记不清它的位置。一点是肯定的：好的问题不是来自于做推广的模糊欲念。几乎正相反的说法倒是真的：所有大数学问题的根源都是特例，是具体的例子。在数学中常见到的一个似乎具有很大普遍性的概念实质上与一个小的具体的特例是一样的。通常，正是这个特例首次揭示了普遍性。阐述‘在实质上是一样’的一个精确明晰的方法就如同一个定理表述。关于线性泛函的黎兹(Riesz) 定理就很典型。固定一个在内积中的向量就定义了一个有界线性泛函；一个有界线性泛函的抽象概念表面上看来具有很大的概括性；事实上，每个抽象概念都是以具体特定的方式产生出来的，那定理也是。作为数学家，我最强的能力便是能看到两个事物在什么时候是‘相同的’。例如，当我对戴维·伯格(David Berg) 定理(正规等于对角加上紧致) 苦苦思索时，我注意到它的困境很像那个证明：每个紧统(Compactum) 是康托(Cantor) 集的一个连续象。从那时起用不着很大的灵感就可使用经典的表述而不用它的证明了。结果是能取得伯格结果的一种意思明白的新方法。这样的例子我还可以举出很多。一些最突出的例子发生在对偶理论中。例如：紧阿贝尔群的研究与傅里叶(Fourier) 级数的研究是一样的，正如布尔代数的研究与不连通的紧豪斯道夫(Hausdorff) 空间的研究是一样的，其它的例子，不是对偶那一类的有：逐次逼近的经典方法与巴拿赫不动点定理是一样的，概率论与测度论也是一样的。

　　“这样一联系起来看问题，数学便清楚了；这样看问题去掉了表象，揭示了实质。他推进了数学的发展了吗？难道那些伟大的新思想仅仅是看清了两个东西是一样的而已吗？我常常这样想──但我并不是总有把握的。”

关于教师的看法

　　“我以能成为教师而骄傲，教书是一个像浮游朝生暮死的事业，就像拉小提琴，乐曲结束就完了，学生被教导，教导就完了，而写作是一个永久的事业，对我是辛苦，可是我却喜爱它。”

　　“我们给未来的工程师，物理学家，生物学家，心理学家，经济学家，还有数学家教数学。如果我们只教会他们解课本中的习题，那不等他们毕业，他们受到的教育便过时了。即使从粗糙而世俗的工商业观点来看，我们的学生也得准备回答未来的问题，甚至在我们课堂上从未问过的问题。只教他们已为人们所知的一切东西是不够的──他们也必须知道如何去发现尚未被发现的东西。换句话说，他们必须接受独立解题的训练──去做研究工作。一个教师，如果他从不总是在考虑解题──解答他尚不知道答案的题目──从心理上来说，他就是不打算教他的学生们解题的本领。”

　　“每上一个班我要干的某一件事是尽快了解我的学生。我让他们坐在他们想做的位置上，以便我能通过座位图记得姓名和面貌之间的一一对立。尽管我是拙劣的艺术家，但我有时还是要坐在座位图上看漫画──长失聚，圆脸，牛角镜框等等。

　　“有了宝莱一次相机后，我就拍照，如果班上学生不是太多，我就让每位学生在学期最初两周内到办公室呆上十分钟。在这十分钟里聊什么无关紧要，要紧的是见面结束时我知道了这些学生的情况(来自纽约，高中时学过微积分，想学物理，英语有困难……) 而学生也感到一位实在的活生生的教授正关怀着他们。

　　“要理解一个科目，你就必须知道得比这个科目多；要教一门课程，你就必须比你可能放进该课程的题材知道得多得多。

　　“当我在芝加哥大学第一次教初等微积分时，关于微积分我知道的比要教得多。即使如此，我仍认为堂课都认真准备是重要的。现在我仍然这样想。理由之一是学生们可塑的，不管他们如何反抗，总禁不住要受到讲课者权威的影响。

　　“我特别竭力不故意说任何错误的东西(更加注意决不在黑板上写出错误的东西) 。

　　“1951年我上高等微积分的班上有一位学生拉里·沃斯(Larry Wos) 够我忙的。尽管他童年即已失明，他还是在自动机理论方面做出了极重要的贡献并得过奖。在有盲人的班上教课得特别小心。

　　“你不能一手拿着粉笔指点：‘现在取这个并把它带入那个……’，另一手拿着板擦在黑板上擦来擦去；你没说：‘……现在取我们刚得到的y的表示式，把它代入先得到的联系y与z的公式……’。

　　“我试着适应，而拉里使课程顺利进行。他总是精神集中，认真听讲，用布莱叶点字法记笔记；他常主动回答我的提问，并且提出自己特有的问题。

　　“他不时在我办公时间来问我问题，教他是一种愉快。我发现，观察他如何能‘看见’教学概念很有意思。例如，有一次他说：‘……如果这函数单调，那就对的……’，同时用左手向右上角化出一条向下凹的线。在这门课的40人中，我给了个A，拉里得A。”

哈尔莫斯的健康状况

　　我由於小时身体衰弱常病，平时不做运动，休息则躺在沙发上，到了九十年代就患上高血压。有一次“保罗伯伯”听我演讲之后，询问我健康状况，我据实告知。他就对我说：“你应该走路，每天走一两小时能减轻症状。不要靠吃药过日子。”

　　事实上哈尔莫斯从小到四十多岁从不运动，只要可能，他用开车代替走路，用躺下代替开车。

　　他喜欢喝酒，每天喝一次，两次或三次，平均每周有一次微醉。

　　他又爱抽烟，每天抽二十到四十支，在就交晚会上抽得更多。

　　不爱吃蔬菜，喜欢浇上融化牛油的龙虾，饭后要有糕饼甜食，加糖浓咖啡。

　　这种抽烟，喝酒，爱美食不运动，造成在四十多岁时，身体未老先衰。他发现他容易感冒，头痛，嗓子难受，胃不舒服，心跳过快。

　　他这时开始担心身体疑神疑鬼，就的患有各种病：肺结核，脑肿瘤，肺癌，胃溃疡，心脏动能衰退。

　　他身体剧痛时，去看医生，可是医生只告诉他没有什么，只要吃药两三个星期就好。这些都令他怀疑医生隐瞒他。后来他去普林斯顿访问时，朋友介绍他一位通情达理的医生，这医生对他全身检查，对他说：“哈尔莫斯先生，你身体没有什么大毛病，你干吗不到外面走走或做一些喜欢的运动？不要靠吃药来医病。你只要多运动你的病痛就自然消失了。”

　　他这一次就听从医生的劝告戒烟。第一次在研究院前面的环形车道走5分钟，以后每隔一天曾加1分钟，最后每天走1小时，由6公里半曾加到13公里到16公里。

　　最后在退休后，移居至加利福尼亚州的硅谷。这里地中海式气候，令人舒爽，而且树林很多，他有时一天走24公里到32公里。

　　我在八十年代见到他时，他身体矫健，走起路来疾如风，精神抖擞，比我这个比他年轻许多的人还要健康。我听了他的劝告之后，才开始走路，不再躺在沙发上休息。

　　台湾交通大学应用数学系吴培元教授在1970年到美国印地安那大学念博士学位，1975年数学系博士。他在2006年追思哈尔莫斯：“去印地安那大学的一个主要原因是发现 Halmos 也在那里。当时系里最强的一个领域就是由他领导的‘操作数理论’，约有 六、七个教授在此一研究群。我也就顺理成章地专攻这个领域。每星期的‘泛函分析研讨课’上，只见他高高在上地坐在教室前排提意见、发问题，研究生们只能在后座瞻仰他的表演。

　　“我给的第一个英文演讲也是在这个研讨会上。当时只见台下坐着一排教授专注地听、盯着看，我的心情当然也紧张万分，还好顺利讲完。讲后 Halmos 给的一些评论我至今都还清楚记得。他写的另一本书 "A Hilbert Space Problem Book" 几十年来一直是操作数理论入门的必备参考书，也是我训练博士生时要求他们研读的第一本书。

　　“十几年前，我有一次机会邀请他来交大访问了五天。虽然在事前双方频繁地用电子邮件联络，但在机场初见面时，他似乎并不知道我和他曾有一段同在印大的日子。他当时已七十几岁，两人的关系也有了改变，他不再是那个高不可攀的数学家，而更像是一个和我从事同一领域研究的同事。访台的第一天，他就要求我带他到书店买了一份新竹市地图。他访问期间都住在市区的旅馆。上午他就一个人对照地图作每日的健行运动，下午我再接他到系里从事演讲等学术活动。一天他跟我说他已把新竹市变不见了，因为他沿着市区外围绕行了一整圈，根据 Cauchy 定理，其积分等于零。

　　“他回程搭机时，在机场厕所内，拿下假牙清洗，没想到就此忘了，直上机后才发现，事后当然是找不到了，此事多年来一直是我和人聊天时常提起的趣闻。

　　“我最后一次见到他是在1994年美国数学会在辛辛那提开年会时的会场，他当然已完全不记得我是谁了。”

哈尔莫斯写的书籍

　　他在数学上创造两个东西，现在被全世界公用，一个是 "iff" (if and only if 当且仅当的缩写) ，另外是在证明结束后，用 "■"(墓碑) 表示完结的意思。 他出版了许多书，和写了很多论文。

　　哈尔莫斯写了几本非常好的教科书，是 Springer-Verlag 出版社主编。我保证对于年轻数学家的成长极有帮助。他曾说：“表述是一种很艰苦的劳动，对罗宾斯坦(Rubinstein 美国著名钢琴家) 和罗维兹(Horowitz 犹太籍钢琴家) 来说，弹钢琴也是如此。但我确信他们热爱这种劳动。弹钢琴对于上第一年课的十岁学生来说是艰苦的劳动，但他们很多人热爱这种劳动。

　　“表述对我来说也是很艰苦的劳动，但我热爱这种劳动，为什么我要做这种劳动…… 完全是为了交流思想，这在我是很重要的，我想把东西写清楚。

　　“我发现要把东西写清楚非常困难。但是我喜欢尝试，即使成功的机会很少，我也喜欢试试，不管是一位医生或古生物学家弄懂怎样解决几何级数的求和问题，还是向已经学过测度论的研究生说明。”

　　“回答是我写作。我在我的书桌前坐下，提起一杆黑色的圆珠笔，开始在一张 8 1/2X11 见方的标准用纸上写作。我在右上角上写上个‘1’，然后开始：‘这些笔记的目的是研究秩为1的摄动在……的格上的影响。’在这一自然段写完后，我在稿纸边上标上个黑体‘A’字，然后开始写 B 段，页数字和段落字构成了参考系统，常常可以一连写上好一百页：87C意味着87页上C段。我将这些页手稿放入三环笔记夹中，在夹脊上贴上标签：逼近论，格，积分操作数等等。如果一个研究项目获得成功，这笔记本便成为一篇论文，但不管成功与否，这笔记本是很难扔掉的。我常在我的书桌旁的书架上放上几十本，我仍然希望那些未完成的笔记将继续得到新的补充，希望那些已成为文章发表的笔记以后会被发现隐含着某种被忽视了的新思路的宝贵萌芽，而这种新思路恰恰是为解决某一悬而未决的大问题所需要的。”

　　他写的著作：

1997年6月16日
2008年12月8日修改