我小时候是很怕数学的
各位教授、各位老师和各位同学：
我最近一直在想：一个人在世界上能够为这世界做些什么事情呢？我是做数学研究，传播数学是我的工作，所以我常自称是个数学传教士，我常到各个地方的小学、中学、大学演讲，与不同年龄层次的人分享我的数学经验。
我以前写了很多本《数学和数学家的故事》，本来我最初计划要写四十本，但是一场病过后，大志就全部没有了。所以现在才写到第八本。希望今年可以持续出版。其实我小时候是很怕数学的，算术真的不懂就是不懂，现在有时做梦还会梦到小时候算术考试的情形呢！说到要考试就紧张得屁滚尿流一般。我相信很多孩子跟我一样很怕考试，特别是数学考试。考不好或紧张有很多可能的因素，有的是父母逼孩子，有的是学生给自己太大的压力，或者是对课程不懂等等。别人我不知道，但是我自己当时的情形就是：我是属于“傻大个”那一型，连九九乘法表都不会背，邻坐的小女生很早就背得滚瓜烂熟，我连 3×4 都背不出来，我真的是一个很笨的孩子。可是后来为什么会变成数学家呢？其中有些曲折，容后补述。
最怕的是鸡兔同笼问题
当时最怕的是鸡兔同笼的问题，鸡兔同笼的问题为什么可怕呢？早在几千年前，我们祖先的名著《孙子算经》里面就有这个问题。小时候老师讲到鸡兔同笼问题的时候，我坐在座位上作白日梦啊！为什么我会作白日梦呢！因为老师是讲得太好了，他讲得头头是道，可是对我这种资质不是太好的学生来说，实在很难理解。老师讲解的同时，我心里在想，我们家也有养鸡，总要切菜、切葱喂给鸡吃，鸡兔同笼的时候，鸡应该会啄兔子耳朵……想这个问题正入神时，老师指着我说：“李信明，你出来。黑板上那个问题，头是35，脚有94，……问鸡、兔各有几只？”我根本不会做，老师就说：“太笨了，手伸出来。”接着打了几下手心，有时候每到要上数学课，我真的想要逃课；如果不能逃课的话，坐在那边真的很怕老师再叫到我，有时候我们要涂万金油之类的东西，就是准备老师打手心可以减轻疼痛。现在我想这些问题，为何老师都尽量叫学生背公式、套公式，难道我们不能改变一下方式吗？当然，那时候小学还没学到代数，当你学到代数时这问题就容易了。
“鸡和兔共35头，鸡与兔的脚共94只，问鸡兔各有几只？”，到现在我还不记得公式是什么。我们有没有一个方法，能教小孩子不要记公式，能让他们有兴趣，而且会喜欢，当他听到鸡兔同笼问题时，他不怕了也不会尿床了。
用图表示问题中的关系式：
我想在此提供一种教法。我跟孩子们讲故事：有一天李大傻农夫养了几只兔和几只鸡，他想算算有多少只兔子和有多少只鸡，李大傻有个本事，可以叫他养的鸡表演金鸡独立；兔子可以两只脚站起来。如果这样子的话，你看（见【附录】）的第二个关系式会变为：
全讲穿了就没意思
接着我辅以肢体动作地跟孩子说，现在金鸡独立的鸡，突然一跳就飞走了，小朋友好高兴，我问孩子们能否看出有什么关系呢？现在鸡飞走了，我要怎么算鸡跟兔有什么关系呢？我现在暂时先卖个关子，让你们自己想想看，因为讲故事就是这样，全讲穿了就没什么意思了。法国作家伏尔泰讲过一句话：“假如你要成为令人讨厌的人，就把所有的东西都全讲完。”你们再想一下，待会儿结束前我们再谈怎么解决这个问题。
把脑中储存的知识与人分享
今天我主要是想讲一些实际上的经验，这些经验其实也不完全是我个人的经历，我们不要做“知识的守财奴”，正如诺贝尔和平奖得主重Flie Weisel 所强调的“把你脑中储存的知识与别人分享”。希望我所提供的一些经验，能让你们成为老师时在教学上会有所帮助。当老师的人如果要教孩子喜爱读书，最好是让孩子们对于读书有兴趣，如果他们没兴趣的话，你是没法子让他学到的。我最近对法国大生理学家贝尔纳（Bernard）老先生说过的话有些体会，他说：“良好的方法，能使我们更好地发挥，运用天赋才能；而拙劣的方法，则可能阻难才能的发挥。因此，科学中难能可贵的创造性才华，由于方法拙劣，可能被削弱，甚至被扼杀；而良好的方法，则会增长、促进这种才华。”这句话实际上是一个真理，如果能使得我们的学生才华真正发挥的话，他们的创造力才会增长。但是，如果不幸地我们用一些不合理的方法，阻塞他们才能发挥，那我们就可能扼杀了这个人才。
基本上来讲，创造力是没办法教的，所谓的创造力教学，指的是学生要能真正有被鼓励开展并发表他们自己想法的机会，如此才能够发展他们富创造力的才能。
书包愈来愈沉重，更沉重的是永远排解不开的无形压力
我的朋友黄武雄教授写过《笑罢童年》及拍成电影，内容提到在台湾，上学是艰苦的事，从踏入学校开始，选好班，上补习班，排队不讲话，排名争第一，小考、周考、月考……我看了之后很感慨，虽然台湾学生要经过的那些过程，我没有亲身经过，可是我对于书包越来越沉重，但更沉重的是那永远排解不开的无形压力，无休止的人比人，计较分数，追求升学……等等终日竞争那些虚无的分数的现况深深地感到忧心。今天，有个朋友跟我说他的孩子，刚要从幼儿园进入小学一年级，问爸爸小学老师是不是都会打人。幼儿就已经开始担心，一进入学校老师就要打人，我听了心里很难过。
数学实际不是很难
实际上来讲，数学并不是很难的，等一下我会告诉你一些方法引起他们兴趣。我们最重要的是，对我们的孩子，小时候真的要给他好的教育，教导他们，让他们知道要怎么做人。俗语说，“3岁看老”。小时候不教的话，到了80岁呢，差不多与3岁的时候一样。为什么我要讲这个，因为很多人一直认为教书就是尽量给学生知识，实际上不是的，最重要的是帮助他们发现。法国有个作家叫 Anatole France 曾说 "To know is nothing, imagine is everything"（知识不是最重要的，最重要的是想像力和创造力）。当然我现在是替我的演讲题目打广告，但是这个是有根据的绝非随口说的。本来教育应该是令人快乐，帮助学生学东西，实际上我们看过的情形不是这样的，孩子有时候对于读书并不感到快乐，为什么呢？三十多年前，在纽约有一个学者 Stanley Crurles 说：一个孩子去学校的时候，是很有创造力的，可是在传统的教学法下被抹杀了，老师给他们一张纸，教他们怎样设计怎样作，结果，每个孩子做出来的东西都是一样的。Stanley Crurles 认为这样做并不是一个很好的方法，因为这样是违反大自然的，到大自然或野外去看，有没有说到处只长着玫瑰花，或者是长百合花。不会的，自然界到处都有不同的花草，人也是一样，为什么要孩子的表现都是一样的呢？这样做无非就是把他们的创造力、才华抹杀掉了。
接着我要讲关于一位好朋友的真实故事，我这位朋友是吴健雄的女高足，她原本在台大念数学，然后到英国念物理，以后到哥伦比亚跟吴健雄学物理。她的大女儿是很聪明的，五岁就会自己看书了，可是在小学一年级的某一天，妈妈注意到她回来很不高兴，问的结果是发现因为老师处罚她。妈妈隔天找到老师了解情况，老师说：“你的女儿很笨，我不想教她，请把你女儿带到别校去，不要呆在我班上。”妈妈听了很生气，妈妈是物理博士，丈夫也是顶尖科学家，怎么可能生出一个笨孩子？
妈妈惊奇的问：“为什么呢？”
老师板着面孔说：“你的小孩真笨，我给小朋友每人一张纸，叫他们折出一半的纸，所有小朋友都知道怎么做。要嘛沿对角线对折；要嘛对折中线，你知道你女儿怎么做的吗？折纸对折两次，任意折一直线通过交点。给我这样的答案，我对她说做错了，告诉她还不高兴。她以后就连作业也不做，上课不专心在发呆，我不想她留在教室影响其他学生。”
我的朋友一看，天呀！老师竟然看不出孩子的做法是对的。于是不再和老师讨论，气得回家。回到家时，先生就问，你们母女今天好像都很不高兴。妈妈就把今天的事情告诉爸爸，爸爸很冷静地问女儿，你怎么知道这是一半呢？女儿说，很简单，把剪刀一剪，然后翻过来两张合在一起，1＋1＝2，1÷2=1/2，就是这样嘛。这小女孩给了老师问题无穷多答案，而老师只看到两种，就说这个女孩子是笨蛋。
美国的电话大王贝尔（Alexander Graham Bell）曾经说过一句话：“我们都喜欢沿着大路走，如果可以的话，有一天你偏离道路走向树林去，你就会看到某些你从来没看过的东西，因为我们很喜欢走前人走过的路，这样因循苟且的话，便不会有新的发现。”
今天听我演讲过后你可以对自己或是别人的孩子、学生试试看，如果你要这样做的话，肯定是要付出一点代价，因为你总要努力勉强自己学点东西，可是我可以保证你会有成果，你开始进步会比较慢，可是以后就会得心应手，而且有可观的效果。
当我20岁的时候，我自己曾经在放牛班教过，其他老师早就已经对这些学生放弃了，我却认为应该对这些真正需要帮助的人雪中送炭。我尝试用我自己的方法，很快地在一个月的时间，连最差的学生最后都能赶上前面的班，因为我让程度最差的学生恢复自信心，宁可稍微慢一点无所谓，等到学生掌握到了方法之后，就可以见到效果。很多人说，那是好学生才可以办得到，你对那些程度差的学生是行不通的，因为他们太笨了，朽木不可雕也，但是你要是从未想过可以雕他，又怎知他不可以雕呢？
我自己曾经对我太太做实验，我太太不是搞数学的，她最多就是在台湾读过高中数学，也不是特别好。有一次我做一个问题，半天做不出来，她看看我在做什么，还不睡觉。我没跟她说是一个数学问题，改说我在做一个数学游戏，然后我就交给她去做。没多久，她找到一个方法，我看她的方法不错，就稍加修饰后投到罗马尼亚的数学杂志，这个论文后来登出来了。你如果肯试的话，任何人都可以成功的。
现在跟你做个实验，不要怕
现在跟你们做一个实验，不要怕，不要怕，这是一个非常简单的几何问题：
有一个半径10厘米的圆，圆心为O，若OPQR是矩形，则PR线段的长度为多少厘米？
假定你是老师的话，拿这个问题给学生做，肯定会有不少学生会讲，设Q＝（x，y），利用勾股弦定理得到OP2+OR2＝PR2，试了许久徒劳无功。可是当我们从不同的角度去想，实际上问题可能不致那么复杂。我曾拿这个问题给一个新加坡的大学生，他说我可以设X，Y，Z；X2＋Y2＝Z2，勾股定理……由圆中看PR等于QO，如果看QO，QO就是半径嘛！用什么勾股定理，没必要大费周折嘛！实际上来讲，很多问题真的很简单，由这个方向看不出来，就从另一个角度想想，勇敢地尝试看看，往往会有令人振奋的结果。
你希望你的小孩子以后怎样
接下来我要问大家一个问题，你希望你的小孩子以后是怎样的人呢？你希望他是有丰富创造力吧！如果你希望你的孩子有丰富创造力，像爱因斯坦、爱迪生等等，你要了解这些人和常人有什么不同。
那些具有推动社会能力的，都是有丰富创造力的人。不管是政治家、科学家，这些人是能够改变世界的，平常他们有使命感。有时候会有点自私，以自我为中心，粗枝大叶，不计较一些小事情，而且对事物的推导很感兴趣。这些人是成功的，但往往不太受欢迎，人缘也不会太好，因为你叫他向东，他不一定会向东的，甚至会跑向西；考试分数也不高，但是你千万不要因为他分数不高就鄙视他，因为他可能专注于某些重要的思考工作。
最有名的一个例子，要算是法国搞群论的数学家伽罗瓦（Galois）。我以前在法国时，从巴黎要去奥赛市（Orsay）做研究，每次坐火车都要经过他的家乡（Bourg la Reine）。每次经过他家乡时我总会挥挥手向伽罗瓦致敬。伽罗瓦读中学的时候，并不是一个很聪明的孩子，他考试常考不过，可是他尝试想要解决是否能够找出像一元二次方程的求根公式一样，解一元三次、四次、五次等等方程呢？他接触许多这方面的理论，进而发现群论的概念，他想出的这些东西对后来的数学发展具重要影响，但是他却不受人家欢迎，22岁就决斗死掉了。
我的老师 Alexander Grothendieck 是法国数学大师曾获得菲尔兹奖（Fields Medal），但从没拿过一个大学文凭。他极富有创造力，他在登峰造极的时候，训练的许多学生很多都是法国科学院的院士，其中之一 P. Deligne 还获得菲尔兹奖。Grothendieck 本身实力很强，他很少读人家的东西，可是你跟他谈论数学问题，他能马上直接告诉你结果应该是什么。我跟他学习的时候，他告诉我必须留在法国十年好好读书，就可以达到他的境界。苦读十年之后，我向我的老师说：“我想要走我自己的路了。”他说：“对啊！你早就该发现要走你自己的路。”
英国哲学家培根说：“一个人跛足而不迷路，必能赶过健步如飞却误入歧途的人。”如果我们的方法是对的，现在开始比较慢，可是最后会越来越快；如果只是用填鸭的方式教孩子，虽然有时可以很快看出像样的考试成绩，但孩子最后就变得像迪士尼卡通里的唐老鸭一样，只能笨笨地活在卡通中，没有自己的思想与创造力。
我现在给一个逻辑问题让大家看，如果你要教逻辑，可以拿这个问题让学生来解：有个岛上有个奇怪部落，住在西边的人永远说实话，住在东边的人永远说谎话，西边的是老实人，东边的是骗子。有一天有一个女科学家来到他们中间，想请一个人当向导，她不知道他是老实人还是骗子，因为在中间地带看不出此人是老实人还是骗子，她说：“你现在往前走去碰到那边的路人，你问他是住在哪里然后回来告诉我。”向导回来后回答说：“他说他是住在西边。”你能不能由此判断向导是不是老实人？
另一个问题，是美国小学六年级的比赛题目：有四个环（三个圈连在一起），打开一个圈需五分钱，合在一起要六分钱，现在要黏成一个大圆圈需要多少钱？（a）22（b）33（c）44（d）88。
你们现在马上想想怎么做才会最便宜。不要怕犯错，犯错是好事，因为你错了你就学到了正确的思考方法。我的小学六年级的儿子说答案是44，我问他为什么是44呢？他说将四个圈打开然后黏起来，一共做四次，所以是44。我说，对对对，你很聪明，但你能不能用另一个方法做做看。接着，我做些引导让他回答，三个打开，然后黏起来，你说多少……他边说边思考着。我说数学就是这样好玩，有时明明你认为是对的，往往是错的。
最重要是创造力
如果各位以后教数学时能帮助你的学生进行思考的话，他不会只往一个方向去思考，他会想如果这样的话怎么样，那样的话又会怎么样？真正能使他们有不同的想法，也就成功了。有很多方法，可以提高他们的创造力，进行不同方向的思考。例如，给他们玩数学游戏，玩数学游戏对他们智慧的启发是有帮助的。常在电视上谈宇宙来源的一位很有名的美国科学家 Carl Sagan，他写了很多科普书籍，在死之前讲了一句话，他说：很可惜，在美国假的科学到处充斥，我们有许多问题需要面对，更需要聪明而且富创造力的人。（Many of the problems facing us may be soluble, but only if we are willing to embrace brilliant daring and complex solution, such solutions require brilliant daring and complex people.）
我1993年去台湾时，“故宫”附近有美术馆展览，正巧在展出赵无忌的画，赵无忌的画在法国是很有名的，我以前在法国就喜欢古典画，不太喜欢抽象画。赵无忌认为宋朝之后，大家都在模仿，没有自己的创造力，后来他自己独树一帜，中西合壁，获得中外的赞赏与肯定。我想他的看法是有道理的。最重要的是自己的创造力。我们常说：“己所不欲，勿施于人。”我们受苦的时候，都很希望不要再重蹈，但是当我们对别人的时候，往往忘记了以前的情形，反而把所受的苦加诸别人身上。希望诸位以后当老师的时候，大家能多付予爱心，像证严法师所说的，“对学生要有父母心、父母的爱，教他们时要有菩萨的方法，启发他们的智慧”。
靠科举考试不行 中国要有更多人才
美国有名的统计学家戴明（Deming），他讲过一句话："Everyone doing his best isn't the answer. The first step in transformation is to learn how to change." 要做一个老师，光尽心尽力的教书是不够的，还要想办法让学生改变、激发学生的创造力。你们一定可以做到的，希望你们能试试这个方法，培养一些小牛顿、小爱因斯坦出来，使他们有丰富的创造力，可以发现科学的真理，以及人生的真理。为什么要谈这个问题呢？我不是在中国、香港、台湾长大，而是在南洋长大的。小时候华人学校是很悲惨的，受教育被欺压，华人学校突然要关门，图书馆的书也不能看，中文书被烧，连《三国演义》都列为禁书，你可以想像那个时代是多么恐怖。那时候我偷看很多古书，其中有一篇古诗对我有很大的影响，那就是龚自珍的《己亥杂诗》：“九州生气恃风雷，万马齐暗究可哀，我劝天公重抖擞，不拘一格降人材。”那时候中国是需要人才的，人才是要把国家救起来。他还有另一首是说清朝每三年办科举考试，他认为科举考试录取的人才就像不好的木头，用不好的木头建屋子结果会怎样呢？当然很快就会垮掉了，所以他希望中国有更多的人才。
能做到多少就做多少
著名学者杜威是一个教育家、哲学家。他说过：“使一个不惯于思考的人只能感到沮丧、烦恼的事，……对于有训练的探究者来说，是动力的指针，它或是能表露新问题或是有助于解释或发问新问题。”我在大学任教的朋友说他有无力感，学生不听话，他们认为大学“由你玩四年”，有什么好读书的，叫他们读书但他们不念书，没有用了，没有人会听你的话。我说为什么呢？他说没办法，年青人的想法跟我们不一样。或许各位以后当老师也会有无力感的时候，实际上你不必悲哀也不必失望，我们能做到多少就做多少，没有人听也没关系，就算他不听全部，只要听到百分之一，他能用就好了。我希望我们做事情要有乐观正面的想法，不要光看失败，要多看正面，世界上不只是死亡，还有生长；不只有黑暗的，光明的更多。这是黑暗的时代，也是光明的时代，我们不要沉溺在黑暗的时代。老子说“天地不仁”，只要我们多正面的、积极的去看，我们一定会有结果，我们也会成功。在演讲结束前，我们回顾 "who's tell the truth" 的问题，请看下面的表：
应该有一条路，那路是你自己找出来的
向导若是老实人的话，他的回答应该都是西边；反之，则必回答东边。我曾经在上课的课堂上给学生考虑这个问题，有日本学生看到这个问题说“noway（不可能做）”，最后，我把答案说出来，他哈哈大笑，说 "I am very stupid"。实际上很多情形都是这样，你认为 noway 的时候，实际上是应该有一条路，那路是你要自己找出来，如果你认为没有路，就没有路；如果你认为有路，你就会努力尝试找出来。正如爱因斯坦说：“没有难的数学，只有笨的数学家。”
【附录】
《孙子算经》“鸡兔同笼”的解法很巧妙，它是按公式：兔数（只）＝足数－头数 来算的，具体计算是这样的：鸡数＝头数－兔数。
解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就由94只（1）变成了47只（3）；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12 （只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。
（此文是1997年3月25日于台北师范大学数学系的演讲稿，谢谢彰化师范大学数学系的梁崇惠和黄丽红协助整理）