我 的 Schwanengesong

　　德文 Schwanengesong 就是『天鹅之歌』，英文 "swan song"，英汉字典是指：『绝笔，临死哀歌，歌手的告别演奏。』

　　西方有一个传说：太阳神阿波罗的神鸟天鹅平时不会鸣叫，只有在临终时，才会哀怨的悲啼。这是它的绝唱——哀婉动听，人们听了会感动得流下眼泪。

　　这个来自希腊的传说起源很早，在公元77年罗马有个学者在书中驳斥这传说的荒谬： 『我观察到临死天鹅才唱歌是错误的。』

　　莎士比亚在1596年写的《威尼斯商人》记述“他像临死的天鹅在歌声消逝。”在《奥赛罗》(Othello)也提到临死天鹅的绝唱。

　　我也有我的『天鹅之歌』。

　　去年十月初参加在拉斯维加斯市的『图论、计算与密码学会议』。大会主持人定下明年度的大会将在纽约州的 Rochester 市举行，目的是为澳洲籍数学家华理斯（W. Wallis）的六十八岁生辰祝寿。

　　朋友问我会不会参加该会议，我说多数不会，因为我不容易从大学取得旅费资助，而我儿子在法国留学，开销很大，需要我的支助。要花自己的钱去开会是太过奢侈。我可能送论文去，由我的合作者去宣读好了。

　　我的印度合作者佐巴（D. Choopra）教授要安排我去他的大学演讲，会给一些演讲费，这样我可以用这钱去补点参加 Rochester 的会议，他要安排我八月去他的大学演讲，并要我住一星期，这样可以讨论一些数学。

　　他今年已安排这演讲，可是在快要成行时，他病倒进医院，他要求取消，延期至今年的十月中，我就建议如果可以就安排 Rochester 会议前到他那里，去他那儿之后，我和他再飞到 Rochester，这样我可以省下一笔旅费。

　　九月他去张罗这件事，可是原来要给的报酬及旅费补贴却因大学财政困难全部取消，他很懊恼地告诉我：『怎么会这样？』

　　二十多年前，我每年都可以拿差不多二千五百元的旅费开会津贴，现在竟然是“王小二过年，一年不如一年”。现在开一个会三百元的支助，系主任都要大费周章的想法子。最后总算得到有可能支助的消息，于是我就买机票和注册来 Rochester 开会。

　　为了买便宜的机票，我需从旧金山机场起飞，一早太太上班顺便送我到机场。我需在机场等五个钟头才能上机，而飞到 Rochester，已是过了半夜。

　　还好这次有罗生平与我同行，我们在 Atlanta 转机时可以一起讨论数学。

　　到了Rochester，从台湾飞来的永进和兆智来接我们到旅馆，他们在纽约机场专机恰巧遇见了佐伯教授。

　　佐伯一早从 Wichita 在美国中部起飞，为了配合我的到来，他转机三次。而飞机票是我的2倍。在纽约机场差一点因飞机在空中盘旋二十分钟误了下一趟到 Rochester 的飞机。

　　一个多月没有见到佐伯教授，他明显的衰老许多。他说他的两只脚动过手术，现在走路是不方便，再加上贫血，人是显得消瘦。

　　以前开会，他常带个行李箱和一个公事包。这次由于体力不行，他只拿了一个常用的公事包和一个装几件衣服的行李袋子，非常轻便。有时开会，我就帮他提携公事包。

　　过去他要演讲时，都会晚上紧张的在旅馆用手抄写公式定理在胶片上。这次他没这么做，大部分时间躺在床上与我聊印度的历史，人文和政治。

　　十月三日一早起来，我在旅舍找电话簿，想要给吴锦泉打电话，可是旅舍没有电话簿，我打电话给旅馆服务生，请他帮忙找锦泉的电话。

　　他找到了，且联络了锦泉，我请他晚上来 Radison 旅馆与我见面，并且我有多一张饭票，他可以找我一起吃饭。

　　锦泉是香港大学毕业，他在中学时就看我的《数学和数学家的故事》，大学毕业要到纽约的大学的研究院。他的老师萧文强教授介绍他暂时在我的那里住一个时候，最后搬到纽约大学旁的公寓。

　　我有一段时间常晚上去纽约大学旁听电脑系的课及听演讲，晚上回哥伦比亚大学不太安全，我就在他的公寓过夜。

　　有次我听 Gary Bloom 教授讲“优美图”(Graceful Graphs)的演讲，一星期之后，我就发现一个定理把印度两位数学家的结果推广。我告诉锦泉，并且请他打字写成论文。这论文后来在纽约的科学院发表。(S.M.Lee and K.C.Ng, Every Young tableau graph is -graceful, Abstracts Amer. Math. Soc., 5 (1984) 84T-05-266.) （S.M.Lee and K.C.Ng, Every Young tableau graph is -graceful, Combinatorial Math. Annal., New York Acad. Sci., 555 (1989) 296-302.)

　　由这篇论文，使到我从近世代数的研究转到图论学的领域去。我放弃近世代数及喜欢的代数数论的领域而转到图论和组合数学是有原因的。我的工作环境不允许我花太多时间和气力去做那方面的研究。

　　图论和组合数学，我随时可以利用小段时间去思考，不需要读太多的书籍和论文，只要知道怎样分析问题就可以轻易解决——当然有些问题我花了二十多年还未解决，但大部分的问题，我不须花三星期的时间就可以解决了。

　　我对朋友的孩子（高中生）及自己的孩子和学生，一些不搞图论的朋友实验，我能在短期间引导他们发现新的定理。

　　锦泉毕业后就到 Rochester 的 Kodak 公司工作，一做做了几十年，是资深的专家。我们分手之后，也有几十年没有联系了。

　　他晚上来 Radison 旅馆与我见面，他看到我很高兴，他告诉我一个令人伤心的消息，以前同我同住的一个清华大学的同学，后来结婚，他的太太是锦泉的同学，在生下两个孩子之后，在美国自杀了。我和很多朋友久不通音讯，不知道这朋友的情况。

　　锦泉吃完饭后要接儿子就走了，他约我明天晚上八点再和他谈叙。

　　吃完饭后先把佐伯教授及 Dios 教授送回旅馆，我和生平及从台湾跟纽约来的合作者一起到信豪下塌的旅馆大厅开会议。

　　我讲十二个可以研究及有望解决的课题，并且怎样分工合作一起解决。当晚是中秋节，生平带了一盒月饼大家分享。我对他们说这次大会宣读文章，他们写后我再检查，我可能不会花时间去写，由他们去完成最后的工作，因为我必须在年底前写我两本的《数学和数学家的故事》，不能分心。

　　在信豪下塌的旅馆大厅开会

　　回旅馆是深夜，佐伯仍然在等待。我对他说明天下午会议，我被安排一个小组做主席，可是却要帮小雷在另一组宣读她的论文，是否可以代我主持一下会议？他说他是下午两点的飞机，吃完下午饭后就要走，不能负责，他建议请 Dios 教授代替，她一定会答应。

　　我说小雷是很聪明的女孩，完全没有读过“图论”，在我的教导下，不到一个月就写了两篇论文，我希望我校的数学系能收她为研究生。

　　佐伯说：如果她不能进入我校的硕士班，他可以安排她来他那里念硕士和博士，他可以给她奖学金。我想这是一个好消息，希望她真的能好好的念数学。看到一个英才不能成材，是一件令人痛心的事。

　　十月三日早会议结束，卡罗莱娜州来的帝尼（Dinesh）教授，他是我的合作者，且教我喻伽，建议一起吃印度餐。

　　Rochester 市原先是个犹太人聚集的地区，后来来了中国人，起南，韩国人。 后来却由于有一些高技术的公司，来了许多印度人。印度人数超越了中国人。犹太人设立一个“社区活动中心”。印度人也更后来居上拥有一个“社区活动中心”，反而中国人却没有社区活动中心。Rochester 的印度餐馆很多，帝尼教授带我们去的印度餐馆就在昨天我们去的中国餐馆旁。

　　这是一个自助餐，帝尼教授教我们怎样吃一些印度菜。我最喜欢的是咖哩羊肉，太好吃了，本来我告诉自己吃七分饱就好，哪里知道美食当头，人变得贪吃，大口吃羊肉，吃喜欢的红萝卜甜糕点，肚子变得滚圆。

　　本来晚上想和生平，兆智，永进一道吃牛排，只好让他们去，不吃晚餐我不能再吃东西。

　　吃完饭回来开会，佐伯直奔机场。D 教授与我一起走时，突然感伤的流眼泪，她说：“佐伯衰老得好快，我们能见面的机会更少了。”

　　我指着校园一些叶子转变橘色的树说：“这是自然的规律，不要太伤悲！这树有青翠的叶，然后变成枯黄，然后有一天死去。我们已过了人生的春天和夏天，进入了秋天和冬天。有一天我们都会要离开这世间，让我们快乐些享受余生。”

　　这次在大会宣读的论文，接近一半是中国人在做。假以时日，中国人在这方面会越做越多，很高兴自己在这方面的工作能吸引许多人来参与。

　　十月四日早上四点闹钟就响，四点二十分我们就离开旅馆往机场去。从Rochester 到 Atlanta 的飞机上，我昏昏沉沉地睡。

　　到了 Atlanta 机场等待转机时，我们吃早餐，生平请我再重复昨天讲的东西，详细记录我提的十二个研究课题准备放在网上让有兴趣的朋友去做。

　　吃早餐时，我推广了昨天对佐伯和 Rose Dios 讲的我们的一个定理，课题全部解决，我告诉生平这结果，我们也讨论我提出的：“所有偶数点的树是差不多边优美”的猜想。

　　研究对我来说就是数学游戏，自己不断创造新的课题，让我的脑子可以找到可以思考的对象。著名的保罗·查理·哈尔莫斯(Paul Richard Halmos 1916.3.3─2006.10.2) 说：“数学并非仅仅是一门演绎科学——那已是老生常谈了。当你试图去证明一个定理时，你不仅只是罗列假设，然后开始推理；你所要做的工作应是反复试验，不断摸索，猜测。你要想弄清楚事实真相，在这点上你做的就像实验室里的技师，只是在其精确性和信息量上有些区别罢了。如果哲学家有胆量，他们也可能像看技师一样地看我们。”

　　朋友要我玩麻将，桥牌和象棋，我都不愿意，因为我有更好玩的东西。太太抱怨作研究有什么好处，又不能使我的钱财增加。我说它使我快乐。如果有上帝，它让我更加接近上帝和真理。

　　朋友问我怎么看我的工作？

　　我的老师 Grothendick 在淡出数学圈前曾问我：“是否想出名？”我说：“不！我不想出名。我只想做一个快乐的数学家。”因为他是非常出名，可是人却不快活。我的朋友孙教授说：“你很傻，不想出名。天下熙熙攘攘都是为名利而来！人不出名，枉此一生。”

　　其实我在十六岁时早看破这尘世的名望。我喜欢过不争的日子，不管人家想,怎么看望我。我尽力把自己的工作做好，行事低调，不企求他人的称赞，想睡得安稳。猪肥了就会被杀掉，人不幸出名了，就是公众关注人物。

　　哈尔莫斯说：“做研究工作有一点我不擅长因而也从不喜欢的是——竞争。我不太善于抢在别人前面获得荣誉。我争当第一的另一办法是离开研究的主流方向，独自去寻找属于我自己的一潭小而深的水。我讨厌为证明一个著名猜想而耗费大量的时间却得不到结果，所以我所干的事无非是分拣出被别人漏掉的概念和阐明富有结果的问题。这样的事在你一生当中不可能常做，如果那些个概念和问题真是‘正确’的，它们便会被广泛接受，而你则很有可能在你自己的课题发展中，被更有能力和更有眼光的人们甩在后面。这很公平，我能受得了；这是合理的分工。当然我也希望‘次正规不变子空间定理’是我证明的，但至少我在引入概念和指出方法方面做过一点贡献。”

　　“不介入竞争的另一个方面就是我对强调抢时间争速度不以为然。我问自己，落后于最近的精美的成果一两年又有什么关系呢？一点关系都没有，我这样对自己说；但即使对我自己来说，这样的回答有时也不管用；对那些心里构成和我相异的人们来说，这样的回答总是错的。当罗蒙诺索夫（Lomonosov）的‘关于交换紧操作数的联立不变子空间’和斯科特·布朗（Scott Brown）的‘关于次正规操作数’的消息传开时，我激动得就像我是第二位操作数理论家似的，急切地想迅速地知道详情。然而这种破例的情形是少有的，所以我仍然可以在我一生的大部分时间里心安理得地生活于时代之后。”

　　“我花费我一生大部分时光试图当一位数学家，可是我学会了什么呢？当数学家要做什么？我认为我知道答案：你必须生下来就对头，你必须连续不断的追求使自己变得完美，你必须热爱数学超过任何其它事情，你必须不停的勤奋工作，你必须坚持不懈，永不放弃。”

　　1955年4月18日，爱因斯坦病逝。临终前，他留下了遗嘱：“我死后，除护送遗体去火葬场的少数几位最亲近的朋友之外，一概不要打扰。不要墓地，不立碑，不举行宗教仪式，也不举行任何官方仪式。骨灰撒在空中，和人类、宇宙融为一体。切不可把我居住的梅塞街112号变成人们‘朝圣 ’的纪念馆。我在高等研究院里的办公室，要让给别人使用。除了我的科学理想和社会理想不死之外，我的一切都将随我死去。”

　　我有一篇论文是与张平和 Garry Chartrand 教授合写的，被列为组合数学论文2006年被最多人阅读的二十篇排行第六的论文。我没有什么喜悦和骄傲，我就如同专心一致用美丽的彩色沙排列成漂亮沙画的西藏僧侣，在完成后没有特别的喜悦，完成之后，把它销灭。

　　等我去世之后，这些东西对我就完全没有用。虚名不是什么可以留恋的东西。人如果能像爱因斯坦说的那样“一个人只有以他全部的力量和精神致力于某一事业时，才能成为一个真正的大师。因此，只有全力以赴才能精通。”

　　“不要试图去做一个成功的人，要努力成为一个有价值的人。”(Try not to become a man of success, but rather try to become a man of value.) 他一定快乐的。

　　天鹅唱完它最美的歌，默默地走了。我也是一样。

2009.10.10