数学界的莫扎特──陶哲轩

数学界的莫扎特

　　成立于1660年的英国皇家科学院，是世界上历史最悠久、最著名的学术团体之一，目前有1400多位院士，其中包括60多位诺贝尔奖得主。过去当选院士者不乏历史上伟大的科学家，如牛顿、达尔文和霍金等人。陶哲轩（Terence Tao）当选为2007年度英国皇家科学院(The Royal Society) 院士。

　　美国国家科学院2008年4月29日公布新增选的一批院士名单，有陶哲轩。

　　陶哲轩21岁时成为洛杉矶加州大学（UCLA）数学系的助理教授，目前是终身教授。并且已经获得了很多著名的奖项。如在2000年获 Salem 奖，在2003年获 Clay 研究奖等。他在取得菲尔兹奖之后，由于报章、杂志以及电视的渲染，许多人都很好奇这位“数学界的莫扎特”是怎么教书？注册上他的一门课就有一百个学生，而窗外还有三十五名学生在窥看他教书。

　　陶哲轩是澳大利亚人。7岁开始自学微积分，8岁半升入中学，九岁去学院上数学课，十一岁读微积分，1986年，11岁的他就在华沙获得了奥数铜牌；1987年，在哈瓦那，他获得银牌；1988年，12岁他获得在堪培拉奥数金牌，20岁获得普林斯顿大学博士学位，陶哲轩那时每天都在玩计算机，但他绝顶聪明，是个天才。24岁被洛杉矶加州大学聘为正教授，第二位华人获得菲尔兹奖（Fields Medal）。解决了几个著名猜想。他的导师是 Wolf 奖获得者埃利亚斯·施泰因(Elias Stein)。施泰因说过陶哲轩是百年难遇的奇才。他的同门师兄，也是菲尔兹奖的获得者查理斯·费富曼说：“陶哲轩是当代的天才”。

　　洛杉矶加州大学数学系前主任约翰·加内特(John Garnett) 说：“他就像莫扎特，数学是从他身体中流淌出来的，不同的是，他没有莫扎特的人格问题，所有人都喜欢他。他是一个令人难以置信的天才，还可能是目前世界上最好的数学家。”

　　2006年8月22日，在西班牙首都马德里举行的国际数学家大会（ICM2006）开幕式上，美国普林斯顿大学数学家安德烈·欧克恩科夫（Andrei Okounkov）、俄罗斯数学家格里高利·佩雷尔曼（Grigori锋Perelman）、美国加州大学洛杉矶分校数学家陶哲轩（Terence Tao）、法国巴黎第十一大学数学家温德林·沃纳（Wendelin Werner）共同分享了四年一度的菲尔兹奖。

　　他在 ICM 2002 上做过一小时报告。听到自己获奖时，陶哲轩最初的反应是非常惊讶。他对《星岛日报》记者说：“几天以后，我才开始适应……”当一位友人发电子邮件向他祝贺时，他回复说：“现在我仍在继续进行我的研究项目，我想要解决的那些难题，并没有因为获奖就魔法般地自动得到解决。”

　　陶哲轩的颁奖词是：“因为他对偏微分方程、组合数学、调和分析和堆垒数论方面的贡献。”Tao 成为该奖项七十年来最年轻的获奖者之一。美国数学学会(AMS) 对 Tao 的评价是：“他将精纯的技巧、超凡入圣的独创及令人惊讶的自然观点融为一体”。

　　著名数学家普林斯顿大学教授查尔斯·费弗曼(Charles Fefferman) 的评价则是：“如果你有解决不了的问题，那么找到出路的办法之一就是引起陶哲轩的兴趣，莫扎特的音乐只有一种风格，陶的数学却有很多种风格，他大概更像斯特拉文斯基。”费弗曼是陶哲轩的大师兄，20岁在普林斯顿大学获 Ph.D.，22岁在 University of Chicago 成为美国历史上最年轻的正教授，29岁获1978年的菲尔兹奖。

数学小天才

　　陶哲轩1975年7月17日生于澳大利亚阿德莱德。1996年在普林斯顿大学获得博士学位，现在是加州大学洛杉矶分校的教授。他曾获得斯隆研究奖、帕克基金奖和克莱数学研究所奖。在31岁时，他已经和30多位合作者共同发表了80多篇论文。

　　陶哲轩是家中的长子。他的父亲陶象国(Billy Tao) 出生于上海、和母亲梁蕙兰(Grace Tao) 均毕业于香港大学。陶象国后来成了一名儿科医生。梁蕙兰是物理和数学专业的高才生，曾做过中学数学教师。1972年，夫妇俩从香港移民到了澳大利亚。

　　陶哲轩两岁的时候，父母就发现这个孩子对数字非常着迷，还试图教别的孩子用数字积木进行计算。

　　3岁半时，早慧的陶哲轩被父母送进一所私立小学。然而，研究天才教育的新南威尔士大学教授米那卡·格罗斯(Miraca Gross) 在陶哲轩11岁时出版的一篇论文中写道，陶哲轩的智力明显超过班上其他孩子，但他不知道怎么与那些比自己大两岁的孩子相处，而学校的老师面对这种状况也束手无策。

　　几个星期以后，陶哲轩退学了。陶象国夫妇从这次失败经历中吸取的一个宝贵教训是：培养孩子一定要和孩子的天分同步，太快太慢都不是好事。陶象国对记者说：“我们决定还是让他去上幼儿园。”幼儿园里有陶哲轩的同龄人。

　　哲轩两岁开始认字看书，上幼儿园的一年半里，陶哲轩还在母亲梁蕙兰指导下完成了几乎全部小学数学课程。母亲更多是对他进行启发，而不是进行填鸭式的教育。而陶哲轩更喜欢的也似乎是自学，他贪婪地阅读了许多数学书。

　　“很大程度上，他是看《芝麻街》起步的，我们基本上把《芝麻街》当保姆用的。”陶象国先生介绍了这部有著30多年历史的美国布袋偶电视片，建议大陆引进这个用于儿童早期智力开发的有趣节目。

　　“我一直喜欢数字。”陶哲轩说。2岁时，他拿着字母积木教比他大的小朋友数数，他很快学会拼写，能用积木拼出单词“狗”或“猫”。他把玩具当作学习的工具了。

　　2岁生日过完几个月，陶哲轩对父亲办公室里的一台打字机发生兴趣，不辞辛苦地用一个手指头敲出了儿童书上一整页的内容。父母很快就意识到把他拉回“正常”状态是犯傻。买来的一些幼儿读物都被证明太浅了，于是他们鼓励儿子自己阅读和探寻，非常小心避免让他过早接触太抽象的“功课”。“回过头看，如果你发现了一个天才，最重要的是给他自由，让他玩，让他有时间想自己的东西，否则，他的创造力很快会枯竭。”陶象国对记者说。3岁时，陶哲轩已经显示出相当于6岁孩子的读写和算术能力。

　　陶象国夫妇还开始阅读天才教育的书籍，并且加入了南澳大利亚天才儿童协会。陶哲轩也因此结识了其他的天才儿童。

　　5岁生日过后，陶哲轩再次迈进了小学的大门。这一次，父母考察当地很多学校后，最终选择了离家2英里外的一所公立学校。这所小学的校长答应他们，为陶哲轩提供灵活的教育方案。刚进校时，陶哲轩和二年级孩子一起学习大多数课程，数学课则与5年级孩子一起上。

　　6岁时，他在家看手册自学了计算机 BASIC 语言，开始为数学问题编程；他那篇“斐波那契”程序的导言太好玩了，以至于1984年被数学家克莱门特完全引用。

　　7岁时，陶哲轩开始自学微积分。“这不是我们逼他看的，是他自己感兴趣。”陶象国说。而小学校长也意识到小学数学课程已经无法满足陶哲轩的需要，在与陶象国夫妇讨论之后，他成功地说服附近一所中学的校长，让陶哲轩每天去中学听一两堂数学课。

　　在数学和科学课程上，他以自己的步调学得飞快，而其余课程跟大家一样。英语课上，他不得不为作文而手忙脚乱。写《我的家庭》时，他在家里从一个房间到另一个房间，记下一些细节，并排了一个目录。

　　“我到现在没摸清作文的窍门，我比较喜欢明确一些定理规则然后去做事的情形。”事实上，陶哲轩谦虚了，即使在英语和社会学──这两门“弱项”上，他只比同龄人超前了4年。

　　7岁半时，他到当地高中上数学课；8岁零3个月，他出了第一本书，关于用 BASIC 程序计算完全数。“他依然是一个活泼、有创造力的、有时也爱恶作剧的孩子。”

　　1985年初，10岁生日前几个月，陶哲轩有三分之一时间在弗林德斯大学度过，学第二年的数学、第一年的物理。余下时间在高中，学12年级的化学、11年级的地理和拉丁文、10年级的法语、9年级的英语和社会学。他仍然与高中同学交朋友。他已在奥数竞赛中拿奖了。

　　陶象国也说，如果陶哲轩在中国内地成长，恐怕就没有那么幸运了。“在国外，我们做家长的可以和学校协商(培养方案)，哲轩7岁开始在中学修课，在中国哪个学校肯收他？”

　　陶哲轩8岁半升入了中学，9岁进入在离家不远的弗林德斯（Flinders）大学学习数学和物理。8岁零10个月时，陶哲轩曾参加一项数学才能测试，得了760分的高分。在美国，十七八岁的学生中只有1%能够达到750分，而8岁的孩子里面还没有人超过700分。

　　陶哲轩在斯坦利教授主持的 SAT-M(大学学术水平测试─数学部分) 中得了破纪录的高分760分。陶象国问他想要什么奖励。“他一下子愣住了，可能觉得这问题比 SAT 的数学题更难。几秒钟后，他说他想要冰箱里的一块巧克力，已经放了一段时间，大家都快忘记了。我拿给他，他掰了半块给我，转身去看他正读的那本物理书去了。”

　　墨尔本大学卓越数学教育国际中心主任 Garth Gaudry 教授对陶哲轩的成长具有非常特殊的影响。陶哲轩12岁之后，Gaudry 教授每周三的下午都和他会面，讨论数学问题。Gaudry 教授经常问他一些很难的问题，而陶哲轩总会给出漂亮的解答。他的思维方式非常与众不同，他能够洞悉到别人还没有意识到的问题。Gaudry 教授把陶哲轩带入了真正的数学研究领域，他还是陶哲轩的硕士导师。

　　这期间，美国约翰·霍普金斯大学的一位教授将陶象国夫妇和陶哲轩邀请到美国，游历了三个星期。夫妇俩曾请教费弗曼和其他数学家，陶哲轩是否真的有天才。“还好我们做了肯定答复，否则今天我们会觉得自己是傻瓜。”费弗曼回忆说。　

　　一年后，陶象国夫妇面临一个重大抉择：陶哲轩什么时候升入大学？格罗斯教授在她的论文中写道，陶哲轩的智商介于220至230之间，如此高的智商百万人中才会有一个，他也完全有能力在12岁生日前读完大学课程，打破当时最年轻大学毕业生的记录。

　　但他们觉得没有必要仅仅为了一个所谓的记录就让孩子提前升入大学，希望他在科学、哲学、艺术等各个方面打下更坚实的基础。

　　虽然他很聪明，他十四岁才去学院上课。他说：“没有必要那么早去学院上课，要做好研究就像建金字塔，要有雄厚的基础，才能建设高。”

　　此外，陶象国认为，让陶哲轩在中学阶段多呆3年，同时先进修一部分大学课程，等到升入大学以后，他才可以有更多的时间去做一些自己感兴趣的事情，去创造性地思考问题。

　　9岁智商高达220，澳洲第一。9岁多时，他未能入选澳大利亚队，去参加国际数学奥林匹克竞赛。但接下来三年中，他先后三次代表澳大利亚参赛，他在1988年获得金牌时，尚不满13岁，11岁时即获国际数学奥林匹克铜牌；来年再战，得银牌；终于13岁得金牌，这一纪录至今无人打破。陶哲轩还有两个弟弟，都是智商180，其中一位是澳大利亚的国际像棋冠军，并且拥有非凡的音乐才能，一部管弦乐作品听一遍就能在钢琴上弹奏出来，但患有自闭症。他后来拿到数学博士学位，现在澳大利亚一家国防科技机构工作。这两个弟弟同时参加了1995年多伦多国际奥数。他们解题时采用同样的方法，得到同样的分数，最终双双获得铜牌。老三奈杰尔，告诉父母“我不是另一个 Terry”，所以，陶象国夫妇放缓他的速度，他拿到经济学、数学和计算机的博士学位，现在是澳大利亚 Google 的一名计算机工程师。

　　陶哲轩说：“很多奥数奖牌得主后来没有继续数学研究的原因之一是，数学研究和奥数所需的环境不一样，奥数就像是在可以预知的条件下进行短跑比赛，而数学研究则是在现实生活的不可预知条件下进行的一场马拉松，需要更多的耐心，在攻克大难题之前要有首先研究小问题的意愿。”

　　问：“您在非常年轻时成为国际数学奥林匹克的获奖者，您是怎样对数学产生兴趣的？比如说，您是天生对数学有兴趣呢还是您遇到了以为特别好的老师？”

　　陶哲轩答：“父母告诉我，我在两岁时就被数学迷住了，当时我就试图用数字积木教其他小朋友计数。我记得当我还是一个孩子时，我迷上了用数学符号控制的模型和智力玩具。上大学后，我开始欣赏数学背后的意义和目的，以及数学是怎样与现实生活和一个人的直觉联系起来的。实际上，今天我喜欢这种深层次的数学更胜于问题的解决或表面符号。

　　我认为，发展数学兴趣所要做的最重要的事是有能力和自由与数学玩。比如为自己设计一丁点挑战，或设计一个小小的游戏等等。对我来说，拥有一位好导师非常重要，因为这让我有机会讨论数学中的快乐；当然，正规的课堂环境最适合于学习理论和应用，以及从整体中认识所学的科目，但它却不是学习如何做实验的好地方。也许，一种有益的品质是聚精会神的能力，还有就是一点点的倔强。因此，我常常花很多时间在一个非常简单的问题上，直到我弄明白这个问题的来龙去脉，当你准备向更高水平进军时，这真的有帮助。”

　　和中国一样，澳大利亚参加奥数的选手也需要集训，但集训的时间并不是很长。陶哲轩说，他当时参加了为期两周的训练营，“我们白天练习解题，晚上玩各种游戏。”

　　“他主要是喜欢做数学，而不是为了(获)奖去做数学。”陶象国说。

　　很多人问陶象国，为什么陶哲轩不会说中文。陶象国的解释是，他和妻子发现陶哲轩的二弟陶哲渊有自闭症以后，担心同时讲英文和中文不利于哲渊的成长，在家里就只说英文了。

杰出的工作

　　陶哲轩是一位解决问题的超人，他杰出的工作影响了数学的几个领域。他结合纯粹工具的力量，像非凡的天才一样提出新观点，其自然而然的见解让其他数学家惊叹：“为什么其他人之前没有看到？”他的兴趣横越数学领域，包括调和分析、非线型偏微分方程和组合论。

　　他13岁时获国际奥林匹克数学金奖，25岁时获 Salem 奖(for his work in L^p harmonic analysis and on related questions in geometric measure theory and partial differential equations)，2002年(27岁) 获得美国数学会 Bocher 奖(for his recent fundamental breakthrough on the problem of critical regularity in Sobolev spaces of the wave maps equations)，2003年他获 Clay 研究奖。2004年他与数论学家 B. Green（Gowers 的学生）合作，将遍历理论与解析数论相结合，攻克了超级数论难题(Erdos-Turan 猜想）：素数序列有任意长的等差子序列（文章已被 Annals of Math. 接受）。为此，B. Green 被授予2004年 Clay 研究奖(Tao 已因其分析上突出成就拿过此奖）。

　　陶哲轩说：“我喜欢与合作者一起工作，我从他们身上学到很多。实际上，我能够从谐波分析领域出发，涉足其他的数学领域，都是因为在那个领域找到了一位非常优秀的合作者。我将数学看作一个统一的科目，当我将某个领域形成的想法应用到另一个领域时，我总是很开心。”

　　在2004年，本·格林(Ben Green) 和陶哲轩发表一篇论文预印稿，宣称证明存在任意长的素数等差数列。

　　他究竟怎么做研究呢？

　　他说：“我并没有任何神奇的能力。我看着一个问题，而这个问题像是我曾经解过的问题，我就会想，之前用过的方法也许在这里也会有用。当所有的尝试都失败时，我就会想一些小技巧，试着取得一些小进展，但是仍然不是正确的解答。我就这么把玩着这题目好一阵子，直到我解决它为止。

　　多数的数学家在面对一个问题的时候，都会试着直接去解决它。但是就算他们能解出来，他们也许还没有能全盘的了解他们做了什么。在我尝试解决问题的细节之前，我会先设定我的策略，一但我有了解题的策略之后，就算是很复杂的问题也能被拆解成许多的小问题。我从来不满足于只是解决问题，我总是想看看，如果我对问题做一些改变，那会发生什么事。”

　　现在正接受 David and Lucille Packard 基金会资助的陶哲轩这样说：“当我实验足够了，我就会对这个问题取得深入的了解。之后，一但有类似的问题出现，我就会知道哪些技巧可以用，而那些不能用。”

　　陶哲轩又补充道：“这无关聪明或是反应快速，就像爬一座峭壁，如果你非常强壮而且动作迅速，又有很多的绳子，那会很有帮助。但是你仍然需要规划出一条可行的登山路径，这才能让你成功的登顶。能快速的做计算和知道很多的事实就像是一个有着力量、快捷反应跟好工具的登山人。但是你仍然需要计划(这是艰难的部分)，而且要能综观全局。”

　　这些年来，他对数学的看法已经有了改变。

　　他说：“当我小的时候，我对数学有着浪漫的想法，总是认为艰难的问题都是灵感来的时候灵光一闪解决的。那总像是──‘让我们试试这个试试那个，看看能不能有所进展，或是，这没用，试试别的，突然，噢，这有条快捷方式’。当你花了足够久的时间，你总是会在某个时间经由一个后门做出通往困难问题的进展。最后，通常你会觉得──‘噢，我解决这个问题了。’”

　　陶哲轩总是专注在一个问题上，但是仍然会在脑中摆着十几二十个问题。他说“希望有一天，我可以找到方法，把它们都解决。如果有个问题看起来是可以解决的，但是却解决不了，那会让我食不下咽的。”

　　以下是他对新闻记者的问题的回答。

　　问：“您怎样寻找下一个新问题？您怎么知道一个特殊问题真的有趣？”

　　陶哲轩：“通过与其他数学家谈话，我会得到许多问题和合作者。我可能比较幸运，因为我最初的领域调和分析与数学的其他领域（偏微分方程，应用数学，数论，组合数学，遍历理论等）有如此之多的联系和应用，因此，我从不缺少需要解决的问题。有时，通过系统地调查某个领域并发现文献中某个缺陷或空白，我能偶然地发现一个有趣的问题，比如，类推两个不同的对象（如两个不同的偏微分方程）并比较两个对象已有的正反结果。

　　我喜欢探讨一些模糊和普通的问题，比如‘如何控制发展方程的长时间动力学问题’，‘什么是从组合数学问题中分离出结构的最好办法？’我被这些问题所吸引，因为通过迫使某人发展出解决其中一个问题的新技术，有可能推动问题的发展，而这些问题会以简单的方式（如，玩具模型的方式）出现，这就避开了所有困难而仅剩下一个。当然，尽管根据以往的经验，某个问题的解决看似比较容易，但通常事先不会知道困难是什么。我还是一个交叉学科研究的狂热爱好者──从一个领域获得思想和见识，再将它们应用到其他领域。比如，我与 Ben Green 在素数等差数列方面的研究思想部分来源于我试图理解 Furstenberg 的遍历理论用于证明 Szemeredi 定理背后的想法，结果这种想法与 Green 为解决这个问题而长久思考的数论与傅里叶分析的论证非常吻合。”

　　问：“数学中有‘热门话题’这种说法吗？如果有，您认为我们现在的‘热门话题’是什么？”

　　答：“我真的只熟悉我所从事的数学领域，所以我无法说出其他领域的‘热门’是什么。但是在我的领域，非线性几何偏微分方程是冉冉升起的热门（最具戏剧性的是佩雷尔曼（Perelman）用里奇（Ricci）流来解决庞加莱（Poincare 猜想），如今在几何学、分析学、拓扑学、动力系统和代数的方法间有越来越多的融合。组合论方法应用于数论，人们通过首先对相当多的任意集合（如正密度整数集）建立结果来发展关于特殊集合的结果（如素数），现在也是相当活跃的，此外组合方法允许提供一个颇为不同的工具（包括遍历理论）于其他方法，这些我们最近在解析数论中曾应用过。”

　　问：“您怎么看待数学与公众之间的关系，这种理想的关系应该是怎样的？”

　　答：“这种关系在不同的国家间有很大的差异。在美国公众中有种含糊不清的观点，认为数学在某种程度上对各种‘高科技产业’来说是‘重要的’，但数学很‘难’，最好让专家来做。因此，公众支持资助数学研究，但却少有兴趣去发现数学家究竟在做什么。最近，大量的电影和其他媒体都涉及到数学家，但不幸的是几乎没有一部能对数学本身以及它所做的东西有精确的理解。我不希望看到数学被过多地神秘化，我希望数学能被更多的公众所接受，尽管我本人不知道如何实现这些目的。”

　　陶象国认为，一流数学家喜欢与陶哲轩合作的一个重要原因是，他在合作中不是利用别人，而是激发合作者的才能。“哲轩从来没有和别人争执过，他想的都是怎么开开心心地和别人合作，而不是互相指责，争权夺利。中国的数学家们如果多一些合作，少一些争执，中国的数学才会有更快的发展。”

陶哲轩谈什么是好的数学？

　　数学品质的诸多方面
我们都认为数学家应该努力创造好数学。但“好数学”该如何定义？甚至是否该斗胆试图加以定义呢？让我们先考虑前一个问题。我们几乎立刻能够意识到有许多不同种类的数学都可以被称为是“好”的。比方说，“好数学”可以指(不分先后顺序)：

　　好的数学题解 (比如在一个重要数学问题上的重大突破)；

　　好的数学技巧 (比如对现有方法的精湛运用，或发展新的工具)；

　　好的数学理论 (比如系统性地统一或推广一系列现有结果的概念框架或符号选择)；

　　好的数学洞察 (比如一个重要的概念简化，或对一个统一的原理、启示、类比或主题的实现)；

　　好的数学发现 (比如对一个出人意料、引人入胜的新的数学现象、关联或反例的揭示)；

　　好的数学应用 (比如应用于物理、工程、计算机科学、统计等领域的重要问题，或将一个数学领域的结果应用于另一个数学领域)；

　　好的数学展示 (比如对新近数学课题的详尽而广博的概览，或一个清晰而动机合理的论证)；

　　好的数学教学 (比如能让他人更有效地学习及研究数学的讲义或写作风格，或对数学教育的贡献)；

　　好的数学远见 (比如富有成效的长远计划或猜想)；

　　好的数学品味 (比如自身有趣且对重要课题、主题或问题有影响的研究目标)；

　　好的数学公关 (比如向非数学家或另一个领域的数学家有效地展示数学成就)；

　　好的元数学 (比如数学基础、哲学、历史、学识或实践方面的进展)；

　　严密的数学 (所有细节都正确、细致而完整地给出)；

　　美丽的数学 (比如 Ramanujan 的令人惊奇的恒等式；陈述简单漂亮，证明却很困难的结果)；

　　优美的数学 (比如 Paul Erdos 的“来自天书的证明”观念；通过最少的努力得到困难的结果)；

　　创造性的数学 (比如本质上新颖的原创技巧、观点或各类结果)；

　　有用的数学 (比如会在某个领域的未来工作中被反复用到的引理或方法)；

　　强有力的数学 (比如与一个已知反例相匹配的敏锐的结果，或从一个看起来很弱的假设推出一个强得出乎意料的结论)；

　　深刻的数学 (比如一个明显非平凡的结果，比如理解一个无法用更初等的方法接近的微妙现象)；

　　直观的数学 (比如一个自然的、容易形像化的论证)；

　　明确的数学 (比如对某一类型的所有客体的分类；对一个数学课题的结论)；

　　其它【注一】。

　　如上所述，数学品质这一概念是一个高维的(high-dimensional) 概念，并且不存在显而易见的标准排序【注二】。我相信这是由于数学本身就是复杂和高维的，并且会以一种自我调整及难以预料的方式而演化；上述每种品质都代表了我们作为一个群体增进对数学的理解及运用的不同方式。至于上述品质的相对重要性或权重，看来并无普遍的共识。这部分地是由于技术上的考虑：一个特定时期的某个数学领域的发展也许更易于接纳一种特殊的方法；部分地也是由于文化上的考虑：任何一个特定的数学领域或学派都倾向于吸引具有相似思维、喜爱相似方法的数学家。它同时也反映了数学能力的多样性：不同的数学家往往擅长不同的风格，因而适应不同类型的数学挑战。

　　我相信“好数学”的这种多样性和差异性对于整个数学来说是非常健康的，因为它允许我们在追求更多的数学进展及更好的理解数学这一共同目标上采取许多不同的方法，并开发许多不同的数学天赋。虽然上述每种品质都被普遍接受为是数学所需要的品质，但牺牲其它所有品质为代价来单独追求其中一两种却有可能变成对一个领域的危害。考虑下列假想的(有点夸张的)情形：

　　一个领域变得越来越华丽怪异，在其中各种单独的结果为推广而推广，为精致而精致，而整个领域却在毫无明确目标和前进感地随意漂流。

　　一个领域变得被令人惊骇的猜想所充斥，却毫无希望在其中任何一个猜想上取得严格进展。

　　一个领域变得主要通过特殊方法来解决一群互不关联的问题，却没有统一的主题、联系或目的。

　　一个领域变得过于枯燥和理论化，不断地用技术上越来越形式化的框架来重铸和统一以前的结果，后果却是不产生任何令人激动的新突破。

　　一个领域崇尚经典结果，不断给出这些结果的更短、更简单以及更优美的证明，但却不产生任何经典著作以外的真正原创的新结果。

　　在上述每种情形下，有关领域会在短期内出现大量的工作和进展，但从长远看却有边缘化和无法吸引更年轻的数学家的危险。幸运的是，当一个领域不断接受挑战，并因其与其它数学领域(或相关学科)的关联而获得新生，或受到并尊重多种“好数学”的文化熏陶时，它不太可能会以这种方式而衰落。这些自我纠错机制有助于使数学保持平衡、统一、多产和活跃。

　　现在让我们转而考虑前面提出的另一个问题，即我们到底该不该试图对“好数学”下定义。下定义有让我们变得傲慢自大的危险，特别是，我们有可能因为一个真正数学进展的奇异个例不满足主流定义而忽视它。另一方面，相反的观点──即在任何数学研究领域中所有方法都同样适用并该得到同样资源，或所有数学贡献都同样重要──也是有风险的。那样的观点就其理想主义而言也许是令人钦佩的，但它侵蚀了数学的方向感和目的感，并且还可能导致数学资源的不合理分配。真实的情形处于两者之间，对于每个数学领域，现存的结果、传统、直觉和经验(或它们的缺失)预示着哪种方法可能会富有成效，从而应当得到大多数的资源；那种方法更具试探性，从而或许只要少数有独立头脑的数学家去进行探究以避免遗漏。比方说，在已经发展成熟的领域，比较合理的做法也许是追求系统方案，以严格的方式发展普遍理论，稳妥地延用卓有成效的方法及业已确立的直觉；而在较新的、不太稳定的领域，更应该强调的也许是提出和解决猜想，尝试不同的方法，以及在一定程度上依赖不严格的启示和类比。因此，从策略上讲比较合理的做法是，在每个领域内就数学进展中什么品质最应该受到鼓励做一个起码是部分的(但与时俱进的)调查，以便在该领域的每个发展阶段都能最有效地发展和推进该领域。比方说，某个领域也许急需解决一些紧迫的问题；另一个领域也许在翘首以待一个可以理顺大量已有成果的理论框架，或一个宏大的方案或一系列猜想来激发新的结果；其它领域则也许会从对关键定理的新的、更简单及更概念化的证明中获益匪浅；而更多的领域也许需要更大的公开性，以及关于其课题的透彻介绍，以吸引更多的兴趣和参与。因此，对什么是好数学的确定会并且也应当高度依赖一个领域自身的状况。这种确定还应当不断地更新与争论，无论是在领域内还是从通过旁观者。如前所述，有关一个领域应当如何发展的调查，若不及时检验和更正，很有可能会导致该领域内的不平衡。

　　上面的讨论似乎表明评价数学品质虽然重要，却是一件复杂得毫无希望的事情，特别是由于许多好的数学成就在上述某些品质上或许得分很高，在其它品质上却不然；同时，这些品质中有许多是主观而难以精确度量的(除非是事后诸葛)。然而，一个令人瞩目的现象是：上述一种意义上的好数学往往倾向于引致许多其它意义上的好数学，由此产生了一个试探性的猜测，即有关高品质数学的普遍观念也许毕竟还是存在的，上述所有特定衡量标准都代表了发现新数学的不同途径，或一个数学故事发展过程中的不同阶段或方面。

快乐家庭

　　陶哲轩一句中文都不会讲，他说：“即使我的双亲都是中国人，我觉得把自己视为澳洲人比较合适。这不代表我时常和野外的鳄鱼们相扑，但我确实喜欢 Vegemite(这是一种浆，人家都用它的 Brand Name)肉馅饼，澳式足球，欧式足球，板球，撞球，和澳洲人和蔼，诚实，及轻松的文化。”

　　由于不会中文，陶哲轩无法直接了解中国文化。不过，父母的中国背景多少对他产生了一些间接影响。他说：“在我成长过程中，中国和澳大利亚文化对我都有熏陶，我不知道自己是否能够区分其间的差别。”

　　陶象国则提到，陶哲轩从中国文化里学到的一点是保持谦逊，从不自大。

　　在洛杉矶加州大学任教以后，陶哲轩认识了听他课的一位韩裔女孩。这位女孩名叫劳拉(Laura)，主修工程，年龄比他小三岁。后来，两人开始交往，并于四年多以前结婚，生有一子。劳拉目前是美国宇航局喷气推进实验室(JPL) 的一名工程师，参与了火星探测计划。

　　陶象国说，陶哲轩一家是快乐家庭生活的一个好典型，“我们和哲轩都觉得，做人最重要的是快乐。”

2008年6月18日

【参考资料】

【1】 陶哲轩：一个华裔数学天才的传奇，南方周末，2006年08月31日第1177期。
【2】 WHAT IS GOOD MATHEMATICS?
　　The many aspects of mathematical quality - by TERENCE TAO
　　(i) Good mathematical problem solving (e.g. a major breakthrough on an important mathematical problem);
　　(ii) Good mathematical technique (e.g. a masterful use of existing methods or the development of new tools);
　　(iii) Good mathematical theory (e.g. a conceptual framework or choice of notation which systematically unifies and generalises an existing body of results);
　　(iv) Good mathematical insight (e.g. a major conceptual simplification or the realisation of a unifying principle, heuristic, analogy, or theme);
　　(v) Good mathematical discovery (e.g. the revelation of an unexpected and intriguing new mathematical phenomenon, connection, or counterexample);
　　(vi) Good mathematical application (e.g. to important problems in physics, engineering, computer science, statistics, etc., or from one field of mathematics to another);
　　(vii) Good mathematical exposition (e.g. a detailed and informative survey on a timely mathematical topic or a clear and well-motivated argument);
　　(viii) Good mathematical pedagogy (e.g. a lecture or writing style which enables others to learn and do mathematics more effectively, or contributions to mathematical education);
　　(ix) Good mathematical vision (e.g. a long-range and fruitful program or set of conjectures);
　　(x) Good mathematical taste (e.g. a research goal which is inherently interesting and impacts important topics, themes, or questions);
　　(xi) Good mathematical public relations (e.g. an effective showcasing of a mathematical achievement to non-mathematicians or from one field of mathematics to another);
　　(xii) Good meta-mathematics (e.g. advances in the foundations, philosophy, history, scholarship, or practice of mathematics);
　　(xiii) Rigorous mathematics (with all details correctly and carefully given in full);
　　(xiv) Beautiful mathematics (e.g. the amazing identities of Ramanujan, results which are easy (and pretty) to state but not to prove);
　　(xv) Elegant mathematics (e.g. Paul Erdos’ concept of "proofs from The Book", achieving a difficult result with a minimum of effort);
　　(xvi) Creative mathematics (e.g. a radically new and original technique, viewpoint, or species of result);
　　(xvii) Useful mathematics (e.g. a lemma or method which will be used repeatedly in future work on the subject);
　　(xviii) Strong mathematics (e.g. a sharp result that matches the known counterexamples or a result which deduces an unexpectedly strong conclusion from a seemingly weak hypothesis);
　　(xix) Deep mathematics (e.g. a result which is manifestly non-trivial, for instance by capturing a subtle phenomenon beyond the reach of more elementary tools);
　　(xx) Intuitive mathematics (e.g. an argument which is natural and easily visualisable);
　　(xxi) Definitive mathematics (e.g. a classification of all objects of a certain type, the final word on a mathematical topic);
　　(xxii) etc.
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